RandomAttack algorithm

有通信鏈路故障的同步完全圖網絡下，進程一致性算法

問題形式化描述：

有n個進程，每個進程可以選擇（0,1）中的某個值，要求這些進程做決定前滿足

1. 一致性（每個進程的最終結果要相同）
2. 有效性：如果所有進程都從0開始，那麼0就是唯一可能的決定值； 如果進程都以1作爲初值並且所有消息都被傳遞，則1是唯一的決定值。（也就是說，初始狀態有0，也有1的狀態下，可以最終結果都是0或者最終結果都是1）
3. 終止性：所有進程最後都會做出決定。

隨機化算法RandomAttack algorithm：（有一定的失敗概率）

前提假設：

1. 進程之間是完全圖
2. 爲了計算算法失敗的概率，假設通信鏈路發生故障並不是隨機發生的，而是由一個“對手”指定的

形式化描述進程之間的關係：

    定義進程之間滿足（i，k）上的偏序關係⊰，i是進程號，k是時間：

•     ( i，k` )⊰( i，k ) 當 k` <= k時。
•     如果 進程 i 與 進程 j 之間有消息傳遞（i 傳給 j），則 （i， k-1）⊰ （j， k）
•     ⊰可以傳遞。

    定義每個進程i在任意時間k的level：

•     level(i,0) = 0
•     某個k>0且存在某個j!=i,使得(j,0)⊰(i,k)不成立（存在j進程一開始就無法向i進程發消息），level(i,k) = 0
•     某個k>0且對於所有j!=i,使得(j,0)⊰(i,k)，則Lj表示max{ level(j,k`):(j,k`)<(i,k) }(在k時刻傳遞消息給i的所有j進程的之前狀態(j,k`)中level最大的，而不能理解爲j最後一次向i傳遞消息後的level), level(i,k) = 1+min{ Lj:j!=i }(傳消息給i的所有進程j，如果Lj最小的達到了n，i的level就是n+1)

    由此可以產生一條定理：

        對於任意一個良好的通信模式，任意一個時刻k，任意兩個進程 i，j， | level( i, k ) - level( j, k ) | <= 1：

         證明分析：

         觀察下面這個通信過程的圖：系統每輪通信都是進程先把自己的level廣播，然後接受其他進程的level，然後更新自己的level：

         方塊代表進程，箭頭代表進程間的通信，每個進程中有進程編號，進程level，和維護系統所有進程有史以來最高級別的L向量

         首先我們能得知，level是單調遞增的。

         如果鏈路不發生故障，每個進程中維護的level之差肯定不超過1，如圖1，圖2

         只要有某條鏈路發生故障，

         如果這個故障導致某個進程的level比其他進程慢一拍，如圖3；在下一次信息傳遞中，由於level(i,k) = 1+min{ Lj:j!=i }，其他進程會立刻停止level遞增，如圖4，等進程b跟上隊伍一樣。

         

random attack算法描述：

• 算法在每一個進程內進行；
• 每個進程維護一個三元組消息 msg(L,V,key)，L是向量，保存所有進程的級別[ 0, r ]，V是向量，保存所有進程的初值，[0, 1, undefined]，key是[1, r]中的一個整數，或者是undefined
• 每個進程有一個最終決定decision。

    每個進程初始化msg

    i 是本進程，j 是其他進程

    V[i] = 初始值0或1    V[j] = undefined

    L[i] = 0  L[j] = -1

    key = undefined

    執行流程：

    if （i == 1 && round == 0）{

        key = random();//進程1隨機產生一個key

    }

    for( round = 0; round<r; ++round ){

        send（msg（L, V, key））；//發送消息msg

        msg（L1, V1, key1） = recv（）；//接收其他進程發來的消息

        for（每一個其他進程 j）{

            L[j] = 本進程 i 收到的所有msg中 L1[j] 的最大值（這可以保證L中的數值差距也在1之內）

            如果V1[j] 不是 undefined，V[j] = V1[j]

        }

        L[i] = min{ L[j] }+1；

    }

    if( key != undefined && L[i] >= key && 對所有的j，V[j] == 1 ){

        decision = 1；

    } else{

        decision = 0；

    }

RandomAttack，分析，爲什麼這個算法在一定的概率下可以保證一致性，有效性，終止性

• 終止性，顯然
• 有效性 和 一致性：

          根據上面的定理1，任意時刻，任意兩個進程之間的level差不超過1

          如果random選擇出來的 key > max（level），或者某些進程以初值0開始，則所有進程decision = 0

          如果random選擇出來的 key <= min（level），且所有進程初值是1，則所有進程decision = 1

          只有當random選擇出來的 key == max（level）的時候，纔有可能出現不一致，max（level）是“對手”指定的，key是{ 1，r }中隨機抽選的，所以算法不一致的概率是1/r

算法的形象描述：

每個進程就像一個個人，手拉手。在一個長n米的路上走，在這段路中隨機選了一個標誌key。規定只能執行n個回合，每個回合大家可以選擇走或者不走。
   每個回合，所有進程一起吼自己的值是0還是1，並且聽別人的值並記下來。
   如果一個人記住了所有人的值，就可以往前走。否則，就有可能停下來犯傻。
如果有一個進程停下來發傻，大家就都停下來等他。
   n回合之後 ：如果一個進程記錄下所有人是1，並且自己邁過了標誌key，就決定1，否則決定0。

        這樣，只有一種情況會發生不一致：
記錄的所有進程值都是1，但是有一些進程越過了key，有一些進程沒有越過key，所以越過key的進程決定1，沒越過的決定0.
但是進程之間的差距不超過1步，所以這種情況出現的概率只有1/n


?多一句嘴，會不會出現這種情況：
所有進程都越過了key，但是由於鏈路故障，有一些進程聽到了所有的喊話，知道其他進程都是1，所以決定1；一些進程沒有聽到所有喊話，所以決定是0。
不可能：原因是隻要key不在起點，而是在路中間，進程越過key就說明進程向前邁了步，邁步的前提是key收齊了所有別的進程的信號。