對偶圖的應用

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0 定義

    一個圖G=(V,E)，若能將其畫在平面上，且任意兩條邊的交點只能是G的頂點，則稱G可嵌入平面，或稱G是可平面的。可平面圖在平面上的一個嵌入稱爲一個平面圖。如下圖左邊黑色的圖爲平面圖，右邊紅色的圖不屬於平面圖：

由平面圖的邊包圍而成，其中不含圖的頂點。也稱爲面。包圍面R的所有邊組成的迴路稱爲該面的邊界，迴路長度稱爲該面的度，記爲deg(R)。具有相同邊界的面稱爲相鄰面。由平面圖的邊包圍且無窮大的面稱爲外部面。一個平面圖有且只有一個外部面。如下面的平面圖中，R0是外部面R0與R1, R2, R3均相鄰。deg(R0)=8, deg(R1)=4, deg(R2)=5（R2經過的頂點序列爲v7-v4-v6-v4-v5-v7）, deg(R3)=1：

利用歐拉公式和數學歸納法可以證明平面圖G的所有面的度之和等於其邊數|E|的2倍，即：

下面我們引入對偶圖，設有平面圖G=(V,E)，滿足下列條件的圖G'= (V',E') 稱爲圖G的對偶圖：G的任一面Ri內有且僅有一點Vi'；對G的域Ri和Rj的共同邊界Ek，畫一條邊Ek'=(Vi',Vj')且只與Ek交於一點；若Ek完全處於Ri中，則Vi'有一自環Ek'，如下圖G'是G的對偶圖：

1 最大流的應用

    如果網絡流中的圖G可以轉化爲一個平面圖，那麼其對偶圖G'中的環對應G中的割，利用最大流最小割定理轉化模型，根據平面圖G'與其對偶圖的關係，先求出最小割。首先連接s和t，如下圖藍色虛線，得到一個附加面，我們設附加面對應的點爲s'，無界面對應的點爲t'，求該圖的紅色的對偶圖G'，最後刪去s'和t'之間的邊：

一條從s'到t'的路徑，就對應了一個s-t割，更進一步，如果我們令每條邊的長度等於它的容量，那麼最小割的容量就等於最短路的長度。這樣時間複雜度大大降低了。