原文來自CSDN http://blog.csdn.net/popy007/article/details/4126809
-潘宏
-2009.4.20
-本人水平有限，疏忽錯誤在所難免，還請各位數學高手、編程高手不吝賜教
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之前我們在《深入探索透視投影變換》以及《深入探索透視投影變換（續）》中研究了OpenGL、D3D以及M3G的透視投影變換的原理以及生成方法。這些方法在當前的主流圖形API中得到了普遍使用。但關於投影應用，還有一類經常使用的投影方式需要我們深入理解——正交投影，我們在本篇文章裏面研究它（這裏假設讀者已經看過前兩篇文章，並理解了絕大多數的理論，因爲正交投影比透視投影的推導關係簡單得多，因此我們的推導會非常得快，如果讀者有任何的不解，請參考前兩篇文章或者通過email聯繫我）。
在具體研究之前我覺得有必要把平面投影的分類簡單介紹一下，目的是爲了讓大家有一個總體的認識，從而更好的理解這個知識體系。請看下圖：
平面投影分爲平行投影和透視投影兩種類型，後者我們在前兩篇文章中介紹了。平行投影則是具有矩形觀察體的投影方式（透視投影則是視錐觀察體），它不會根據物體離視點的遠近縮放物體（透視投影則會）。平行投影可以分成側投影和正交投影兩種類型。這兩種類型如何區分呢？我們繼續看圖吧：
上圖中，v是投影平面，n是它的法線。p和q是平面外兩點，p’和q’分別是它們在平面上的投影點。q的投影方向向量爲Q =單位化（q’-q），而p的投影方向向量爲P = 單位化（p’-p），其中Q不平行於n而P平行於n，則q的投影叫做側投影，而p的投影叫做正交投影。正交投影是我們今天的研究對象。
實際上上面對平面投影的分類還可以繼續向下細分，比如透視投影可以分爲一滅點、二滅點以及三滅點透視投影。側投影則可以繼續分爲散點側投、斜二軸側投等等。而正交投影則可以分成軸側投影以及多視點正交投影等等。如果讀者對此感興趣，可以參考相關的圖形學教程。
接下來我們研究正交投影。分別介紹OpenGL、D3D以及M3G的。我們的環境約定（左右手座標系、行列向量乘法、CVV範圍）仍然尊重相應API自己的設置。
OpenGL正交投影變換
下圖是OpenGL的右手座標系中觀察空間的情形，我們看到的是正交投影的矩形觀察體，原點是相機位置，n是近裁剪平面到相機平面的距離，f是遠裁剪平面到相機平面的距離。p是觀察體中的一個點，p’是它投影之後的點。
投影之後我們有關係：
因爲是正交投影，沒有統一的投影射線目標點，因此投影之後的x和y不會變，而z則永遠地變成了-n，跑到了投影平面上（我們讓投影平面和近裁剪平面重合），它已經沒用了，則我們用這個沒用的信息保存z（爲了之後片元操作的時候用），寫爲：
從而在z方向上構建 CVV，使得當z在近裁剪平面的時候，az+b=-1，而z在遠裁剪平面的時候az+b=1（OpenGL的CVV的z範圍是[-1,1]，我已經說了三遍了，如果讀者感到迷惑不解，強烈建議把前兩篇文章理解）。我們算出a和b
然後我們就通過當前的結果反推正交投影矩陣版本一
接着把x和y建立成CVV情形（簡單的線性插值）
反推正交投影矩陣版本二（最終版本）
則右邊的那個矩陣就是OpenGL的正交投影矩陣，它可以通過glOrtho創建出來。如果你讀過並理解了之前兩篇文章，你會覺得我的推導越來越簡潔利落了：）OpenGL的解決了，下面是D3D的。
D3D正交投影變換
下圖是D3D左手座標系中觀察空間的情形。因爲是左手座標系，因此近裁剪平面在z = n平面，而遠裁剪平面在z = f平面。
投影之後，有
用第三個沒用的信息保存z，寫爲
使得（D3D的CVV的z範圍是[0, 1]）
反推正交投影矩陣版本一
對x和y進行CVV線性插值
分兩種情況討論（如果讀者對此不清楚，請參考第二篇文章《深入探索透視投影變換（續）》）：
（1） 投影平面居中，銷掉兩邊的1/2，然後反推正交投影矩陣
後面那個矩陣就是相應正交投影矩陣，這個也是D3DXMatrixOrthoLH方法所使用的情況。
（2） 一般情況，投影平面不一定居中，直接通過投影結果反推正交投影矩陣
後面那個矩陣就是相應的正交投影矩陣，這個也是D3DXMatrixOrthoOffCenterLH方法所使用的情況。好了，D3D的也介紹完畢，接下來是M3G的。
M3G正交投影變換
M3G是對OpenGL的封裝，因此環境和OpenGL的相同，我們從對x和y的插值來看
M3G只使用居中的投影平面，因此可以銷掉兩邊的1/2，得到
接着反推出正交投影矩陣
最後那個矩陣就是M3G的正交投影矩陣，也就是Camera.setParallel所使用的形式。
結束語
以上介紹了三個API所使用的正交投影矩陣的生成方法，三者的正交投影矩陣依然可以通過視野（FOV）以及投影平面的寬高比（Aspect Ratio）來設置，這裏請讀者自行推導，可以參考第二篇文章《深入探索透視投影變換（續）》。
正交投影矩陣和透視投影矩陣一樣可以有無窮多個，但原理相同，不同的只是環境。目前正交投影在3D引擎中有着和透視投影同樣的地位，它至少是3D用戶界面系統的基礎。因此，有必要清晰地理解正交投影矩陣和透視投影矩陣的原理，如此才能夠真正創建、修改、使用好圖形引擎。