Project Euler 78 : Coin partitions

Project Euler 78 : Coin partitions

Integer Partition

Let p(n) represent the number of different ways in which n coins can be separated into piles. For example, five coins can be separated into piles in exactly seven different ways, so p(5)=7.

| OOOOO |
| OOOO O |
| OOO OO |
| OOO O O |
| OO OO O |
| OO O O O |
| O O O O O |

Find the least value of n for which p(n) is divisible by one million.

既然題目都告訴了是coin partitions，那麼直接按照分硬幣的思路做肯定沒問題，至於硬幣如何分，參見硬幣劃分。

題目的意思就是任意麪值的硬幣咯，也就是用1~n的硬幣來劃分n。哈哈直接套用以前的結論，驗證題目中的p(5)=7 ，5塊錢用1，2，3，4，5來分，那麼應該是1(1−x)(1−x2)(1−x3)(1−x4)(1−x5) 的x5 的係數，唔，展開即可。

什麼你問我怎麼展開？額，根據11−x=1+x+x2+x3+....... 然後乘起來慢慢算。。不過我們有Mathematica大殺器，可以來方便的求係數，如下：

於是襯衫的價格是9磅15便士，應該選擇B項。（答案應該是7）

看來沒錯，等等，似乎發現了什麼驚天的祕密。

似乎，我們得到了p(n) 的生成函數 ∑∞n=0P(n)xn=∏∞n=111−xn

於是興沖沖的來做這題，於是瞬間懵逼，完全沒法啃，每次計算都不知道要花多久，跟別談求這樣一個連區間都沒有的題了。

Bing了一下，這個p(n) 果然來頭不小，上面的那個生成函數早就被歐拉發現了，又見歐拉！於是繼續搜，找到了這個，Computing the Partitions of n，簡單樸實的網頁裏給出了這樣的一個公式。

P(n)=∑(−1)k−1(P(n−12k(3k+1))+P(n−12k(3k−1)))

其中k從1開始，直到迭代到無法迭代，即n<0。經過觀察，12k(3k+1) 是一個等差數列和的形式，其通項爲2+3k ，同理後面的那一個通項爲1+3k 。

既然是迭代公式，那麼直接開好數組，一路迭代上去即可，於是代碼如下：

#include <cstdio>

int* p = new int[100000]();
int PartationsP(int n)
{
    int res = 0,k = 1,a = 2,b = 1,s = 1;
    while (n >= a){
        res += s*(p[n-a] + p[n-b]);
        a += 3*k+2;
        b += 3*k+1; 
        s *= -1;
        k += 1;
    }
    res += (n >= b)? s*p[n-b]:0;
    return res % 1000000;
}

int main()
{
    p[0] = 1;
    p[1] = 1;
    int n = 1;
    do{
        n++;
        p[n] = PartationsP(n);
    }while (p[n] != 0);
    printf("%d\n",n);
    return 0;
}