Project Euler 78 : Coin partitions

Project Euler 78 : Coin partitions

Integer Partition

Let p(n) represent the number of different ways in which n coins can be separated into piles. For example, five coins can be separated into piles in exactly seven different ways, so p(5)=7.

| OOOOO |
| OOOO O |
| OOO OO |
| OOO O O |
| OO OO O |
| OO O O O |
| O O O O O |

Find the least value of n for which p(n) is divisible by one million.

既然题目都告诉了是coin partitions，那么直接按照分硬币的思路做肯定没问题，至于硬币如何分，参见硬币划分。

题目的意思就是任意面值的硬币咯，也就是用1~n的硬币来划分n。哈哈直接套用以前的结论，验证题目中的p(5)=7 ，5块钱用1，2，3，4，5来分，那么应该是1(1−x)(1−x2)(1−x3)(1−x4)(1−x5) 的x5 的系数，唔，展开即可。

什么你问我怎么展开？额，根据11−x=1+x+x2+x3+....... 然后乘起来慢慢算。。不过我们有Mathematica大杀器，可以来方便的求系数，如下：

于是衬衫的价格是9磅15便士，应该选择B项。（答案应该是7）

看来没错，等等，似乎发现了什么惊天的秘密。

似乎，我们得到了p(n) 的生成函数 ∑∞n=0P(n)xn=∏∞n=111−xn

于是兴冲冲的来做这题，于是瞬间懵逼，完全没法啃，每次计算都不知道要花多久，跟别谈求这样一个连区间都没有的题了。

Bing了一下，这个p(n) 果然来头不小，上面的那个生成函数早就被欧拉发现了，又见欧拉！于是继续搜，找到了这个，Computing the Partitions of n，简单朴实的网页里给出了这样的一个公式。

P(n)=∑(−1)k−1(P(n−12k(3k+1))+P(n−12k(3k−1)))

其中k从1开始，直到迭代到无法迭代，即n<0。经过观察，12k(3k+1) 是一个等差数列和的形式，其通项为2+3k ，同理后面的那一个通项为1+3k 。

既然是迭代公式，那么直接开好数组，一路迭代上去即可，于是代码如下：

#include <cstdio>

int* p = new int[100000]();
int PartationsP(int n)
{
    int res = 0,k = 1,a = 2,b = 1,s = 1;
    while (n >= a){
        res += s*(p[n-a] + p[n-b]);
        a += 3*k+2;
        b += 3*k+1; 
        s *= -1;
        k += 1;
    }
    res += (n >= b)? s*p[n-b]:0;
    return res % 1000000;
}

int main()
{
    p[0] = 1;
    p[1] = 1;
    int n = 1;
    do{
        n++;
        p[n] = PartationsP(n);
    }while (p[n] != 0);
    printf("%d\n",n);
    return 0;
}