importance sampling(重要性採樣)

問題：
g(x)已知，爲x的函數，p(x)爲隨機變量x的概率密度函數，p(x)解析式已知，計算g(x)在p(x)分佈下的均值（數字特徵）。
方法：

Ep(x)(g(x))=∫xg(x)p(x)dx

但是現在的問題是此定積分很難計算，所以需要使用採樣的方法。參照p(x)採樣N個樣本，按照如下方法計算：

Ep(x)(g(x))≈E^p(x)(g(x))=1N∑i=1Ng(xi)

但是，問題又來了，很難從p(x)中採樣！
方法：
選擇一個容易採樣的分佈q(x),把計算均值的公式做如下轉換：

Ep(x)(g(x))=∫xg(x)p(x)dx=∫xg(x)p(x)q(x)q(x)dx=Eq(x)(g(x)p(x)q(x))

現在參照q(x)採樣N個樣本(x1,x2,……，xN)，計算如下：

Ep(x)(g(x))≈E^p(x)(g(x))=E^q(x)(g(x)p(x)q(x))=1N∑i=1N[g(xi)p(xi)q(xi)]