今天開始學Pattern Recognition and Machine Learning (PRML)，章節1.1，介紹與多項式曲線擬合(Polynomial Curve Fitting)

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Pattern Recognition and Machine Learning (PRML)書學習，章節1.1，介紹與多項式曲線擬合(Polynomial Curve Fitting)

博士也快唸完了，明年畢業，今年開始準備畢業相關的東西，感覺自己做machine learning 的research做的很散，論文發了些，卻不繫統。決心在畢業前好好補一下基礎知識，我相信離開大學就很難有這樣的機會了。以前我入門機器學習是看的《The Elements of Statistic Learning》書，（剛開始半本書看了半年，呵呵，比較累），書很不錯。一直聽說國外很多學校是用PRML這本書做教材的，自己一直當工具書翻，沒有仔細看過，因此就打算看PRML這本書了。

儘量把看的內容寫到blog中，我打算前面寫的章節可以密集一些，當作基礎複習，後面的topic可能會適當精選一些。下面的文字有一些是用原書中的句子翻譯來的，但很多是我自己的話，畢竟我不是在翻譯；其中的公式和圖標，基本上會來自原書，畢竟我寫只是blog，全自己寫太消耗時間了。

章節1.1多項式曲線擬合(Polynomial Curve Fitting)

很多ML的介紹都是從regression（迴歸）這個問題開始的，PRML也一樣。迴歸問題是很多現實問題的基本解決方法，比如各類預測問題。不過本書第一張並不涉及具體的算法，不是一上來就說線性迴歸，而是介紹了很多基礎概念，我覺得是本書的一大優點。

給定一個N個樣本的訓練集合，，對應目標值（觀測值）

,我們的目標是在給定訓練集合的情況對一個新來的樣本,預測他的目標值。事實上，我們是不知道數據本身是否是產生於某種形式的函數方程的，比如正玄函數sin（），而要從觀測數據去發現隱含的方程是很困難的。因爲數據本身存在了不確定性（uncertainty）。（注：uncertainty的理解將會貫穿本書。）

我們先試圖用多項式函數來擬合數據，形式爲：

其中y爲預測值，x是輸入，w是參數。M是多項式的階（最大次方）。 注意，雖然多項式對x來說是非線性，但是對於所有參數w來說是線性的。線性方程是M=1的情況。這種對w線性的函數稱之爲線性模型，linear model，將會在第3-4章介紹。

擬合的一種直觀做法是去最小化誤差函數，error function， 其中一種最常見的error function叫做sum of the squares:

這個式子的特點是非負，只有當所有點都被正確預測時，error爲0。式子中的1/2是爲了以後推導時候的方便。（對的，你是對的，很多時候是爲了求導後把2去掉- -）。

圖1.3簡單說明了誤差函數的值，圖中藍點是訓練數據，y是預測模型，綠線的長度之平方和（減半）就是誤差函數的值。要估計w的最優值來得到y(x,w)這個函數做預測，我們需要最小化E(W)，因爲E(W)是關於w的一個二次方程，是存在全局最優解的，這裏可以記最優解的w爲。好了，現在剩下的最後一個問題是我們因該怎麼確定M，也就是用幾階的多項式來擬合數據呢？

我們來看圖1.4， 如果數據本身是通過正玄函數加上一點高斯噪音得到（圖中藍點），當然數據怎麼來我們是不知道的。我們用多項式來擬合數據，可以看到，當M從0逐漸增大的時候函數的擬合能力越來越強，也就是說在training set中錯誤的結果越來越小，當M=9的時候我們發現所有的點都被正確的擬合了。那麼是不是我們找到了一個最好的結果呢？其實不然，擬合training set只是我們的手段，我們的目標是得到一個具有很好泛化能力的函數，來預測新的數據點。由圖1.4的M=9可以看到，和真實曲線（綠線）相差很遠，這裏就是一個過擬合的問題（over-fitting），可以說是機器學習裏面非常重要的一個問題。

如果記錄下均方根誤差，root-mean-square error

可以得到圖1.5的示例，M到了一定階段以後在test數據上的error就會顯著增大了，我們理解成過擬合了！

我們再來簡單討論一下over-fitting的問題。造成over-fitting的因素很多，我個人理解有兩點是很重要的，（1）模型太複雜；（2）數據太少。

上面的例子說明了，當我們用M=9的時候，模型對於原始數據來說研究太複雜了，但是也可用是因爲數據點太少造成過擬合的。看圖1.6，當數據點顯著增多時，過擬合問題減少了很多！所以，很重要的一點是，訓練樣本的足夠多以及模型的合適。不過訓練樣本太多也有其他我問題，比如欠擬合，以及訓練不動（- -）,這些這裏就不談了。

Machine Learning方法中很重要的一類是正則化，regularization，具體會在以後的章節中仔細介紹。這裏給一個直觀的理解。最常用的正則化項是約束參數的模，在公式（1.2）對w做約束得到：

如果y是線性方程的時候，公式（1.4）就是ridge regression了。通過圖1.7，我們可以看到改變 的數值可以對模型產生巨大的影響。當依然是用M=9的時候，加入在正則化項就可以比較好的得到擬合了。當然，新問題又來了，怎麼確定新引入的參數呢？這又需要一些其他的知識，常見的做法是建立一個validation集合，用來驗證參數的選取。後面介紹model selection的時候會講到一些。

好了，第一小節就介紹到這裏，第一章的風格是直觀上介紹一些問題，以及給出一些解決方法。對於machine learning 入門的同學是非常好的。