在許多領域的研究分析中，往往需要從多個角度採集事物的大量信息，並且加以分析。多變量大樣本給數據分析帶來了豐富的信息，但是在多數情況下，同一個樣本，不同變量之間是具有相關性的，這給分析增加了複雜性。而盲目地抽出其中幾個變量來分析，又會損失很多重要的信息，得出錯誤的結論。
因此，在多變量大樣本分析中，有兩個重要的數據處理方法：數據解耦、數據降維。
數據解耦：很多情況下，變量和變量之間是有相當強的相關性的。比如分析一個班級中學生的數學、語文兩科的成績，多數情況下，一科成績好的學生，另一科成績也不差。如果設數學成績爲X1，語文成績爲X2，有沒有可能構建一個加權成績u1=a1*X1+a2*X2，和另一個加權成績u2=b1*X1+b2*X2，使得u1和u2的相關性爲0呢？
那麼爲什麼要數據解耦呢？直觀上去想，在X1-X2座標系下，一個班級的數學和語文成績數據極有可能擬合成一條直線。如果我們在（a1*X1+a2*X2）-（b1*X1+b2*X2）座標系下分析，由於u1和u2是不相關的，在此座標系下班級成績的座標點，將圍繞點(E(u1)，E(u2))關於座標軸對稱分佈。其中E(u1)是變量u1的數學期望。用一幅圖描述此過程：
通過簡單線性變換，數據解耦之後，可以得到與之前變量（X1和X2）數目相同的一組變量（u1和u2），新得到的這組變量兩兩之間無相關性，即消除了冗餘的信息。
數據降維：如果有一個m維（即m個變量）的數據集，我們想辦法將其將爲k維，同時將有效信息的損失降到最小，以減少數據分析的複雜性，這就是數據降維。還是以上圖爲例，明顯，數據近似組成了一個橢圓區域，其長軸爲u1方向，短軸爲u2方向。如果我們拋棄u2變量，保留u1變量，也就是認爲數據在u1軸兩側均勻分佈，直觀上感覺並沒有損失太多信息。事實上，保留長軸，忽略短軸這種策略，是降維時有效信息損失最少的。甚至，短軸u2極有可能是真實數據的噪聲。
主成分分析法就是可以同時實現上述兩種數據處理的方法。上述的u1軸就是這個數據集的第一主成分，u2就是數據集的第二主成分。
PCA實例:本例將以二維數據爲例，講解PCA流程。首先隨機構建一個有26個樣本，每個樣本兩個變量的數據集。其中變量X1=RAND()*20+80，噪聲=RAND()*2-1，變量X2=X1*2.5+噪聲。（通常情況下，兩個變量之間的相互關係以及噪聲的構建方法是不可能提前知道的，這裏我們爲了分析算法，自行構建了一組數據。）
第一步，中心化。
將X1和X2的每一個數據，減去他們的平均值，得到新是X1’和X2’。這樣做的目的是讓數據的中心平移到原點上，同時不改變數據之間的相關性。
第二步，求協方差矩陣。
協方差表示了兩個數據之間的相關性，協方差爲正說明兩個變量爲正相關，爲負表明兩個變量爲負相關，兩個變量相互獨立時協方差爲0。一個變量和它自身的協方差是這個變量的方差。當樣本是n維數據時，每兩個變量之間兩兩求協方差，可以得到一個邊長爲n*(n-1)/2的協方差矩陣。對於3維數據，其協方差矩陣爲：
對於我們構建的數據，可求協方差矩陣爲：
第三步，求這個協方差矩陣的特徵值和特徵向量：
這裏，之前我們提到的線性變換系數a1，a2，b1，b2就是特徵向量的元素1，2.483144522，1，-0.40271518
第四步，對X1，X2線性變換得到u1，u2。
最後，我們可以得到一些有趣的性質：
1， 第二主成分接近0。說明了單個變量的第一主成分，已經“近乎”可以描述之前的兩個變量組成的樣本的信息。
2， 由於我們是可以知道噪音具體數值的，對噪聲和第二主成分取絕對值後作圖發現，二者有極強的正相關性。因此，捨棄第二主成分，既能去除相當一部分噪音，又能儘可能保留原始數據的信息。
證明略。
2017/12/6