滾動數組

滾動數組的作用在於優化空間，主要應用在遞推或動態規劃中（如01揹包問題）。因爲DP題目是一個自底向上的擴展過程，我們常常需要用到的是連續的解，前面的解往往可以捨去。所以用滾動數組優化是很有效的。利用滾動數組的話在N很大的情況下可以達到壓縮存儲的作用。

一個簡單的例子：

斐波那契數列：

一般代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int Fib[25];

int fib(int n)
{
    Fib[0] = 0;
    Fib[1] = 1;
    Fib[2] = 1;
    for(int i = 3; i <= n; ++i)
        Fib[i] = Fib[i - 1] + Fib[i - 2];
    return Fib[n];
}

int main()
{
    int ncase, n, ans;
    scanf("%d", &ncase);
    while(ncase--)
    {
        scanf("%d", &n);
        ans = fib(n);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

利用滾動數組優化後代碼爲：

#include<cstdio>
using namespace std;
int Fib[3];

int fib(int n)
{
    Fib[1] = 0;
    Fib[2] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        Fib[0] = Fib[1];
        Fib[1] = Fib[2];
        Fib[2] = Fib[0] + Fib[1];
    }
    return Fib[2];
}

int main()
{
    int ncase, n, ans;
    scanf("%d", &ncase);
    while(ncase--)
    {
        scanf("%d", &n);
        ans = fib(n);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

滾動數組實際是一種節省空間的辦法，時間上沒啥優勢，多用於DP中，舉個例子吧： 

一個DP，平常如果需要1000×1000的空間，其實根據DP的無後效性，可以開成2×1000，然後通過滾動，獲得和1000×1000一樣的效果。滾動數組常用於DP之中，在DP過程中，我們在由一個狀態轉向另一個狀態時，很可能之前存儲的某些狀態信息就已經無用了，例如在01揹包問題中，從理解角度講我們應開DP[i][j]的二維數組，第一維我們存處理到第幾個物品，也就是階段了，第二維存儲容量，但是我們獲得DP[i],只需使用DP[i - 1]的信息，DP[i - k],k>1都成了無用空間，因此我們可以將數組開成一維就行，迭代更新數組中內容，滾動數組也是這個原理，目的也一樣，不過這時候的問題常常是不可能縮成一維的了，比如一個DP[i][j]需要由DP[i - 1 ][k],DP[i - 2][k]決定，i<n，0<k<=10;n <= 100000000;顯然縮不成一維,正常我們應該開一個DP[100000005][11]的數組，結果很明顯，超內存，其實我們只要開DP[3][11]就夠了DP[i%3][j]由DP[(i - 1)%3][k]和DP[(i - 2)%3][k]決定，空間複雜度差別巨大。

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