學習麥克風陣列信號處理（一）——維納濾波器

鄙人不才，初次接觸信號處理這個方向，通過三週的麥克風陣列信號處理學習，在此幾下我的一點學習經驗。

        維納濾波（wiener filtering) 一種基於最小均方誤差準則、對平穩過程的最優估計器。這種濾波器的輸出與期望輸出之間的均方誤差爲最小，因此，它是一個最佳濾波系統。它可用於提取被平穩噪聲所污染的信號。

        從連續的（或離散的）輸入數據中濾除噪聲和干擾以提取有用信息的過程稱爲濾波，這是信號處理中經常採用的主要方法之一，具有十分重要的應用價值，而相應的裝置稱爲濾波器。根據濾波器的輸出是否爲輸入的線性函數，可將它分爲線性濾波器和非線性濾波器兩種。維納濾波器是一種線性濾波器。

由於本人目前專門做關於語音處理方面的工作，所以以語音方面的維納濾波爲例來說明。

對於語音信號，設其符合如下模型：

                                                

其中爲語音源信號，爲噪聲信號。再定義信號樣值和估計值之間的誤差爲

                                               

                                                       

其中，

                                              

爲長度爲L的FIR濾波器（FIR是有限長單位衝擊響應濾波器）。

爲觀測信號，那麼

                                   

與濾波器的長度相等，那麼

                                                    

MSE準則爲

                                                   

                                                           

其中，

                                                          

                                                             

那麼，最優濾波器爲

                                                           

由於是不可知的，所以我們無法直接計算，只能對它進行估計，由於，

                                                       

以下是我個人的代碼。

L = 10000;
N = 100; % 濾波器的階數

a = 0.95;
b1 = sqrt(12 * (1 - a ^ 2)) / 2; 
b2 = sqrt(3);
w = random('uniform', -b1, b1, 1, L);
v = random('uniform', -b2, b2, 1, L);
u = ones(1, L);

s = zeros(1, L);
s(1) =  w(1);
for i = 2:L
    s(i) = a * s(i - 1) + w(i);
end
x = zeros(1, L);
x = s + v;
i = L - 100 : L;
figure;
plot(i, s(i), i, x(i), 'r:');

h1 = zeros(N:1);
for i = 1:N
    h1(i) = 0.238 * 0.724 ^ (i - 1) * u(i);
end

%% 解相關矩陣。
Rxx = zeros(N, N);
rxs = zeros(N, 1);

x_v = corrmtx(x, N - 1);
Rxx = x_v' * x_v;

s_v = corrmtx(s, N - 1);
Rxs = x_v' * s_v;
rxs = Rxs(:, 1);

h2 = Rxx ^ (-1) * rxs; 

%% 計算Si
Si = zeros(1, L);
Si(1) = x(1);
for i = 2:L
    Si(i) = 0.724 * Si(i - 1) + 0.238 * x(i);
end

Sr = zeros(1, L);
for i = 1:L
    tmp = 0;
    for j = 1 : N- 1
        if (i - j <= 0) 
            continue;
        else 
            tmp = tmp + h2(j) * x(i - j);
        end
    end
    Sr(i) = tmp;
end

i = L-100:L;
figure;
plot(i, s(i), i, Si(i), 'r:');