關於 約瑟夫問題，報道m值的數出列。

約瑟夫問題：

用戶輸入M,N值，從1至N開始順序循環數數，每數到M輸出該數值，直至全部輸出。寫出C程序。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef struct ringnode{
    int pos;
    struct ringnode *next;
}ring,*Ring;

void create(Ring Head,int count)
{
    Ring cur = NULL, tail = NULL;
    int i = 1;
    tail = Head;
    while(--count > 0)
    {
        cur = (Ring)malloc(sizeof(ring));
        i++;
        cur -> pos = i;
        tail -> next = cur;
        tail = cur;
    }
    tail -> next = Head;
}

void play(Ring Head,int m)
{
    Ring cur,tail;
    int i = 1;
    cur = tail = Head;
    while(cur!=NULL)
    {
        if(i == m)
        {
            printf("\n %d",cur->pos);
            tail -> next = cur -> next;
            free(cur);
            cur = tail -> next;
            i = 1;
        }
        tail = cur;
        cur = cur->next;
        if(tail == cur)
        {
            printf("\n %d",cur->pos);
            free(cur);
            break;
        }
        i++;
    }
}



int main(void)
{
    Ring head = NULL;
    int m = 0, n = 0;
    printf("-------------------the game start-------------------\n");
    printf("N(person count) = ");
    scanf("%d",&n);
    printf("M(out count) = ");
    scanf("%d",&m);
    if(n <= 0 || m <= 0)
    {
        printf("input error!\n");
        system("pause");
        return 0;
    }

    head = (Ring)malloc(sizeof(ring));
    head->pos = 1;
    head->next = NULL;
    create(head,n);
    printf("\norder:");
    play(head,m);
    printf("\n");
    system("pause");
    return 0;
}

對問題的簡化，若只是求出最後勝利者。

 思想：歸納爲數學性問題。原文說的很好，還是直接Copy吧，因爲搜索半天也沒有找到原作者，所以無法添加引用地址了，如果這位大哥看到這裏，請告知與我，小弟立刻加入引用鏈接:)

無論是用鏈表實現還是用數組實現都有一個共同點：要模擬整個遊戲過程，不僅程序寫起來比較煩，而且時間複雜度高達O(nm)，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。

爲了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：
問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

我們知道第一個人(編號一定是m%n-1) 出列之後，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號爲k=m%n的人開始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2並且從k開始報0。
現在我們把他們的編號做一下轉換：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
變換後就完完全全成爲了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：

令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]

遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最後結果是f[n]。因爲實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1
由於是逐級遞推，不需要保存每個f[i]，程序也是異常簡單：

借鑑如下：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int n, m, i, s = 0;
    printf ("N M = ");
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        s = (s + m) % i;
    }
    printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
}

這個算法的時間複雜度爲O(n)，相對於模擬算法已經有了很大的提高。算n，m等於一百萬，一千萬的情況不是問題了。可見，適當地運用數學策略，不僅可以讓編程變得簡單，而且往往會成倍地提高算法執行效率。

相比之下，解法二的優越性不言而喻，同時說明數學確實很重要。