揹包問題

來自著名的揹包九講，算是筆記吧。

n件物品，揹包體積V、質量U，物品體積a[i]、質量b[i]、價值c[i]，求最大價值。

1. 01揹包

一種物品只有一件，可選可不選

f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-a[i]]+c[i])

i 順序，v 逆序，空間複雜度可以降低一維

2. 完全揹包

每種物品無限多

f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-a[i]]+c[i])

01揹包的v 也改爲順序即可，空間一維即可

或者雖然物品無限多，但是由於揹包有限，所以每種物品可選數量都有上限，可以轉化爲如下多重揹包

3. 多重揹包

每種物品數量有限

①一種物品可選k件，拆分爲k件物品，然後01揹包解決

②二進制拆分，轉化爲01揹包，同上一種都是拆分，效率高了很多

4. 混合揹包

以上三種問題的混合，if 條件判斷即可。

5. 二維揹包

物品有兩維屬性

f[i][v][u] = max(f[i][v][u], f[i][v-a[i]][u-b[i]]+c[i])

多一維多一層循環即可，或者可以同01揹包一樣空間複雜度降低一維。

6. 分組揹包

每組最多隻能選一個

f[k][v] = max(f[k-1][v], f[k-1][v-a[i]]+c[i])<span style="white-space:pre">	</span>//i屬於第k組

三重循環，組，屬性，i 屬於組

7. 有依賴的揹包問題

略

8. 泛化物品

略

9. 變化

略