题解【luogu P2421 bzoj P1407 [NOI2002]荒岛野人】

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题目大意：给定n$n$ 组Ci,Pi,Li$C_i,P_i,L_i$ ，求最小的M$M$ 使得对于任意的i,j(1≤i,j≤n)$i,j(1\le i,j\le n)$

Ci+Pi×x≡Cj+Pj×x(modM)$$C_i+P_i\times x\equiv C_j+P_j\times x(\mathrm{mod}M)$$

不成立

（这里的不成立指的是无解或者解出来的 x<min(Li,Lj)$x<min(L_i,L_j)$ ,即相遇之前有一人死掉

其中x$x$ 为正整数（就是走了x$x$ 天相遇)

分析

从小到大枚举M$M$ （注意没有单调性不能二分）

原式可变形为

Ci+Pi×x=Cj+Pj×x+M×y$$C_i+P_i\times x=C_j+P_j\times x+M\times y$$

(Pi−Pj)×x−M×y=Cj−c=Ci$$(P_i-P_j)\times x-M\times y=C_j-c=C_i$$

若无解，则此时的M$M$ 为所求
若有解，用扩展欧几里得解出该方程的最小解xmin$x_{min}$ 。
如果xmin<min(Li,Lj)$x_{min}<min(L_i,L_j)$ ，问题解决；否则继续枚举

代码:

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

int n, C[20], p[20], l[20], mx = -1;
inline int gcd(int a, int b)
{
    if(!b) return a;
    else return gcd(b, a % b);
}             
inline void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(!b) { x = 1, y = 0; return ; }
    exgcd(b, a % b, x, y);
    int t = x; x = y, y = t - (a / b) * y;
}
inline bool check(int m)
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = i + 1; j <= n; j++)
        {
            int a = p[j] - p[i], b = m, c = C[i] - C[j], x = 0, y = 0, g = gcd(a, b);
            if(c % g == 0)
            {
                a /= g, b /= g, c /= g;
                exgcd(a, b, x, y);
                b = abs(b);
                x = ((x * c) % b + b) % b;
                if(!x) x += b;
                if(x <= min(l[i], l[j])) return false;
            }
        }
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &C[i], &p[i], &l[i]); 
        mx = max(mx, C[i]);
    }
    for(int i = mx;;i++)
        if(check(i))
        {
            printf("%d\n", i);
            return  0;
        }
    return 1；//防抄
}