CNN已經在計算機視覺（CV）以及自然語言處理等領域取得了非常好的水平，其中的數據可以被稱作是一種Euclidean Data，CNN正好能夠高效的處理這種數據結構，探索出其中所存在的特徵表示。所謂的歐氏（歐幾里德）數據指的是類似於grids, sequences… 這樣的數據，例如圖像就可以看作是2D的grid數據，語音信號就可以看作是1D的grid數據。但是現實的處理問題當中還存在大量的 Non-Euclidean Data，如社交多媒體網絡數據，化學成分結構數據，生物基因蛋白數據以及知識圖譜數據等等，這類的數據屬於圖結構的數據（Graph-structured Data）。
圖結構數據
如果數據看起來像這樣該怎樣利用深度學習，
一個簡單的方法：
• 求鄰接矩陣A和特徵矩陣X
• 串聯Xin=[A,X]
• 輸入全連接神經網絡
缺點：
•參數數量過大
•圖形變化需重新訓練
爲什麼研究GCN？
1.CNN無法處理Non Euclidean Structure的數據，學術上的表達是傳統的離散卷積在Non Euclidean Structure的數據上無法保持平移不變性。也就是說在拓撲圖中每個頂點的相鄰頂點數目都可能不同，那麼也就無法用一個同樣的尺寸的卷積核來進行卷積運算。
2.CNN無法處理Non Euclidean Structure的數據，又希望在拓撲圖上有效的提取空間特徵來進行學習，所以GCN成爲研究重點。
3.數據不是拓撲結構的網絡時，也會用到GCN。廣義上來講任何數據在賦範空間內都可以建立拓撲關係，譜聚類就是這樣的思想。
兩種主流方式來提取拓撲圖的空間特徵：
- 基於空間域 ：Learning Convolutional Neural Networks for Graphs ——ICML 2016
爲了能夠對任意結構的圖進行卷積操作，這篇文章提出了PATCHY-SAN (Select-Assemble-Normalize)的方法，通過三個步驟構建卷積分片：1.從圖中選擇一個固定長度的節點序列；2.對序列中的每個節點，收集固定大小的鄰域集合；3.對由當前節點及其對應的鄰域構成的子圖進行規範化，作爲卷積結構的輸入。通過上述三個步驟構建出所有的卷積片之後，利用卷積結構分別對每個分片進行操作。具體示意圖如下圖所示。
總體上講，就是用w個固定size=k的子圖來表示輸入的graph，再將這w個子圖正則化後,生成一個w*k維的向量，作爲傳統的CNN的輸入，進行學習。其實就是做了一個從graph到向量的映射的一個預處理過程。
具體構建卷積分片的步驟：
1.節點序列選擇：爲對圖中所有的節點進行標號排序，將圖中的節點集合根據向心性（節點的度、中心度等）映射爲有序的節點序列。從該序列中根據一定的間隔s隔段選取w個節點構成最終的節點序列。
2.鄰域節點收集：對於上一步獲得的節點序列中的每一個節點，利用廣度優化搜索擴展鄰域節點，和源節點一起構成一個k大小的鄰域集合。
3.子圖規範化：對鄰域集合中的各節點標號排序，得到接受域。那麼，對於節點的屬性，k個節點屬性值構成了一個輸入通道，對於邊的屬性，k^2個屬性值也構成了一個輸入通道。我們可以分別用一維的卷積層來處理這兩種輸入通道（對於節點屬性卷積層長度爲k，對於邊屬性卷積層長度爲k^2）。
香港中大-商湯科技聯合實驗室的最新 AAAI 會議論文“Spatial Temporal Graph Convolution Networks for Skeleton Based Action Recognition”提出了一種新的 ST-GCN，即時空圖卷積網絡模型，用於解決基於人體骨架關鍵點的人類動作識別問題。該方法除了思路新穎之外，在標準的動作識別數據集上也取得了較大的性能提升。
ST-GCN 的基礎是時空圖結構。大致步驟：
•構建時空圖（包括相鄰關鍵點的連接關係或身體部件等，如手-手肘-肩膀的連接關係）。
•圖結構上的卷積網絡
2. 基於頻譜域 ：藉助圖譜的理論來實現拓撲圖上的卷積操作 Spectral Networks and Deep Locally Connected Networks on Graphs ——NIPS 2014
對於圖G=(V,E),其中Laplacian矩陣的定義爲L=D-A,其中L是Laplacian矩陣，D是頂點的度矩陣（對角矩陣），對角線上的元素依次爲各頂點的的度，A是圖的鄰接矩陣。
Symmetric normalized Laplacian：
對於拉普拉斯矩陣進行譜分解爲：
所以特徵分解可以寫成：
特徵分解最右邊的特徵矩陣的逆，只是拉普拉斯的性質可以寫成特徵矩陣的轉置
卷積定理：函數卷積的傅里葉變化是函數傅里葉變化的乘積，即對於函數f(t)與h(t)兩者的卷積是其函數傅里葉變換乘積的逆變換：
類比到Graph上並把傅里葉變換的定義帶入，f與卷積核h在Graph上的卷積可以由下面步驟得到：
f的傅里葉變換爲
卷積核h的傅里葉變換寫成對角矩陣的形式
兩者的傅里葉變換乘積即爲
這種參數方法缺點：
- 每一次前向傳播，都要計算U, diag(θl)以及UT三者的乘積，特別是對於大規模的graph，計算代價較高，也就是論文中的O(n2)的計算複雜度
- 卷積核需要n個參數