原文出處: 寒江獨釣
從這篇文章開始介紹圖相關的算法,這也是Algorithms在線課程第二部分的第一次課程筆記。 圖的應用很廣泛,也有很多非常有用的算法,當然也有很多待解決的問題,根據性質,圖可以分爲無向圖和有向圖。本文先介紹無向圖,後文再介紹有向圖。 之所以要研究圖,是因爲圖在生活中應用比較廣泛:
無向圖
圖是若干個頂點(Vertices)和邊(Edges)相互連接組成的。邊僅由兩個頂點連接,並且沒有方向的圖稱爲無向圖。 在研究圖之前,有一些定義需要明確,下圖中表示了圖的一些基本屬性的含義,這裏就不多說明。
圖的API 表示
在研究圖之前,我們需要選用適當的數據結構來表示圖,有時候,我們常被我們的直覺欺騙,如下圖,這兩個其實是一樣的,這其實也是一個研究問題,就是如何判斷圖的形態。 要用計算機處理圖,我們可以抽象出以下的表示圖的API: Graph的API的實現可以由多種不同的數據結構來表示,最基本的是維護一系列邊的集合,如下: 還可以使用鄰接矩陣來表示: 也可以使用鄰接列表來表示: 由於採用如上方式具有比較好的靈活性,採用鄰接列表來表示的話,可以定義如下數據結構來表示一個Graph對象。
public class Graph
{
private readonly int verticals;//頂點個數
private int edges;//邊的個數
private List<int>[] adjacency;//頂點聯接列表
public Graph(int vertical)
{
this.verticals = vertical;
this.edges = 0;
adjacency=new List<int>[vertical];
for (int v = 0; v < vertical; v++)
{
adjacency[v]=new List<int>();
}
}
public int GetVerticals ()
{
return verticals;
}
public int GetEdges()
{
return edges;
}
public void AddEdge(int verticalStart, int verticalEnd)
{
adjacency[verticalStart].Add(verticalEnd);
adjacency[verticalEnd].Add(verticalStart);
edges++;
}
public List<int> GetAdjacency(int vetical)
{
return adjacency[vetical];
}
}
圖也分爲稀疏圖和稠密圖兩種,如下圖: 在這兩個圖中,頂點個數均爲50,但是稀疏圖中只有200個邊,稠密圖中有1000個邊。在現實生活中,大部分都是稀疏圖,即頂點很多,但是頂點的平均度比較小。
採用以上三種表示方式的效率如下:
在討論完圖的表示之後,我們來看下在圖中比較重要的一種算法,即深度優先算法:
深度優先算法
在談論深度優先算法之前,我們可以先看看迷宮探索問題。下面是一個迷宮和圖之間的對應關係: 迷宮中的每一個交會點代表圖中的一個頂點,每一條通道對應一個邊。 迷宮探索可以採用Trémaux繩索探索法。即:
- 在身後放一個繩子
- 訪問到的每一個地方放一個繩索標記訪問到的交會點和通道
- 當遇到已經訪問過的地方,沿着繩索回退到之前沒有訪問過的地方:
圖示如下:
下面是迷宮探索的一個小動畫:
深度優先搜索算法模擬迷宮探索。在實際的圖處理算法中,我們通常將圖的表示和圖的處理邏輯分開來。所以算法的整體設計模式如下:
- 創建一個Graph對象
- 將Graph對象傳給圖算法處理對象,如一個Paths對象
- 然後查詢處理後的結果來獲取信息
下面是深度優先的基本代碼,我們可以看到,遞歸調用dfs方法,在調用之前判斷該節點是否已經被訪問過。
public class DepthFirstSearch
{
private bool[] marked;//記錄頂點是否被標記
private int count;//記錄查找次數
private DepthFirstSearch(Graph g, int v)
{
marked = new bool[g.GetVerticals()];
dfs(g, v);
}
private void dfs(Graph g, int v)
{
marked[v] = true;
count++;
foreach (int vertical in g.GetAdjacency(v))
{
if (!marked[vertical])
dfs(g,vertical);
}
}
public bool IsMarked(int vertical)
{
return marked[vertical];
}
public int Count()
{
return count;
}
}
試驗一個算法最簡單的辦法是找一個簡單的例子來實現。
深度優先路徑查詢
有了這個基礎,我們可以實現基於深度優先的路徑查詢,要實現路徑查詢,我們必須定義一個變量來記錄所探索到的路徑。 所以在上面的基礎上定義一個edgesTo變量來後向記錄所有到s的頂點的記錄,和僅記錄從當前節點到起始節點不同,我們記錄圖中的每一個節點到開始節點的路徑。爲了完成這一日任務,通過設置edgesTo[w]=v,我們記錄從v到w的邊,換句話說,v-w是做後一條從s到達w的邊。 edgesTo[]其實是一個指向其父節點的樹。
public class DepthFirstPaths
{
private bool[] marked;//記錄是否被dfs訪問過
private int[] edgesTo;//記錄最後一個到當前節點的頂點
private int s;//搜索的起始點
public DepthFirstPaths(Graph g, int s)
{
marked = new bool[g.GetVerticals()];
edgesTo = new int[g.GetVerticals()];
this.s = s;
dfs(g, s);
}
private void dfs(Graph g, int v)
{
marked[v] = true;
foreach (int w in g.GetAdjacency(v))
{
if (!marked[w])
{
edgesTo[w] = v;
dfs(g,w);
}
}
}
public bool HasPathTo(int v)
{
return marked[v];
}
public Stack<int> PathTo(int v)
{
if (!HasPathTo(v)) return null;
Stack<int> path = new Stack<int>();
for (int x = v; x!=s; x=edgesTo[x])
{
path.Push(x);
}
path.Push(s);
return path;
}
}
上圖中是黑色線條表示 深度優先搜索中,所有定點到原點0的路徑, 他是通過edgeTo[]這個變量記錄的,可以從右邊可以看出,他其實是一顆樹,樹根即是原點,每個子節點到樹根的路徑即是從原點到該子節點的路徑。 下圖是深度優先搜索算法的一個簡單例子的追蹤。
廣度優先算法
通常我們更關注的是一類單源最短路徑的問題,那就是給定一個圖和一個源S,是否存在一條從s到給定定點v的路徑,如果存在,找出最短的那條(這裏最短定義爲邊的條數最小) 深度優先算法是將未被訪問的節點放到一個堆中(stack),雖然在上面的代碼中沒有明確在代碼中寫stack,但是 遞歸 間接的利用遞歸堆實現了這一原理。 和深度優先算法不同, 廣度優先是將所有未被訪問的節點放到了隊列中。其主要原理是:
- 將 s放到FIFO中,並且將s標記爲已訪問
- 重複直到隊列爲空
- 移除最近最近添加的頂點v
- 將v未被訪問的節點添加到隊列中
- 標記他們爲已經訪問
廣度優先是以距離遞增的方式來搜索路徑的。
class BreadthFirstSearch
{
private bool[] marked;
private int[] edgeTo;
private int sourceVetical;//Source vertical
public BreadthFirstSearch(Graph g, int s)
{
marked=new bool[g.GetVerticals()];
edgeTo=new int[g.GetVerticals()];
this.sourceVetical = s;
bfs(g, s);
}
private void bfs(Graph g, int s)
{
Queue<int> queue = new Queue<int>();
marked[s] = true;
queue.Enqueue(s);
while (queue.Count()!=0)
{
int v = queue.Dequeue();
foreach (int w in g.GetAdjacency(v))
{
if (!marked[w])
{
edgeTo[w] = v;
marked[w] = true;
queue.Enqueue(w);
}
}
}
}
public bool HasPathTo(int v)
{
return marked[v];
}
public Stack<int> PathTo(int v)
{
if (!HasPathTo(v)) return null;
Stack<int> path = new Stack<int>();
for (int x = v; x!=sourceVetical; x=edgeTo[x])
{
path.Push(x);
}
path.Push(sourceVetical);
return path;
}
}
廣度優先算法的搜索步驟如下:
廣度優先搜索首先是在距離起始點爲1的範圍內的所有鄰接點中查找有沒有到達目標結點的對象,如果沒有,繼續前進在距離起始點爲2的範圍內查找,依次向前推進。
總結
本文簡要介紹了無向圖中的深度優先和廣度優先算法,這兩種算法時圖處理算法中的最基礎算法,也是後續更復雜算法的基礎。其中圖的表示,圖算法與表示的分離這種思想在後續的算法介紹中會一直沿用,下文將講解無向圖中深度優先和廣度優先的應用,以及利用這兩種基本算法解決實際問題的應用。