2.三角域上的Bernstein基
單變量的n次的Bernstein基由的二項式展
開各項組成。雙變量張量積的Bernstein基由兩個單變量的Bernstein基各取
其一的乘積組成。而定義在三角域上的雙變量n次的Bernstein基由
的展開式各項組成。
Bernstein基函數：
其中i+j+k=n，且i，j，k≥0。可見，三角域上n次Bernstein基共包含
了個基函數，可以用一個三角陣來排列這些基函數。例如，
n=2時如圖3.1.19所示。其位於同一條線上的那些基函數實際是單變量的。
三角域按Bernstein基的三角陣列相應劃分成子三角域，其中諸直線交
點同樣地稱爲節點。節點與基函數一一對應。每個結點也由三個指標確定，
如圖3.1.20所示，它們分別與三參數u，v，w相聯繫。
三角域上Bernstein基同樣具有規範性、非負性與遞推性。其遞推關係
爲：
3．三邊Bezier曲面片的方程
使一個基函數聯繫一個控制頂點，一張n次三邊Bezier曲面片必須由構
成三角陣列的個控制頂點定義。
因此，我們可以寫出曲面片的方程：
按下標順序用直線連接控制頂點，就形成了曲面的控制網格，它由三角
形組成，網格頂點與三角域的節點一一對應。圖3.1.21給出了三次三邊
Bezier曲面片的一個例子。
當固定三參數之一時，將得到曲面片上一條等參數線。例如，當w固定，
讓u獨立地變化，則得到一條u線；若讓v獨立地變化，則得到v線，兩者實際
是同一條曲線。因此，曲面片上有三族等參數線。當三參數之一爲零時，則
得曲面片的一條邊界線，它由相應那排邊界頂點定義，就是一般所指的一條
非有理n次Bezier曲線。當三參數之一爲1時，則得三邊曲面片的一個角點，
就是控制網格三角頂點之一。可見，三邊Bezier曲面片與四邊Bezier曲面片
具有類似的性質。
與定義在矩形域上的四邊Bezier曲面片的差別在於：
(1)定義域不同；
(2)控制網格不同，後者由呈矩形陣列的控制頂點構成；
(3)同樣是兩個獨立參數，但最高次數不同，後者兩個參數的最高次數
是互相獨立的，可以不同。而三邊Bezier曲面片的三個參數的最高次數都是
相同的；
(4)四邊Bezier曲面片是張量積曲面，三邊Bezier曲面片是非張量積曲
面，這是本質差別。
4．三邊Bezier曲面片與四邊Bezier曲面片的轉化
由於三邊Bezier曲面與四邊Bezier曲面有不同的基函數和定義方法，當
在同一個CAD系統中使用這兩種類型的曲面片時，會帶來不相容的困難。
1996年，S.M. Hu給出了兩種曲面片的轉化方法。
S.M. Hu的方法是將一張三邊Bezier曲面片轉化爲三張相同次數的四邊
Bezier曲面片，且各曲面片之間能夠很好地匹配。如圖3.1.22（a），假定
三邊Bezier曲面片定義域爲D，在D的三條邊上各取一點（不包括三個頂點）
、和，再在三角形內取一點，則線段、和將D分
成三個四邊形、和，與三線段對應的曲線將該三邊Bezier曲面片分
成三張四邊Bezier曲面片。下面，我們給出上的四邊Bezier曲面片的表示，
和上曲面片的表示則與在上類似。
我們選取如圖3.1.22（b）所示。爲了方便起
見，並將寫爲，
寫爲，則三邊Bezier曲面片方程可以寫爲：
如果我們還引入下列運算符：
不變運算符
移位運算符
差分運算符
則三邊Bezier曲面片方程可進一步表示爲：
定義在上的的裁剪曲面可由n×n次的四邊Bezier曲面片表示，
其控制頂點爲：
其中
分別是、和的座標。
於是，定義在上的四邊曲面片可表示爲：
本文轉自
http://www.blog.edu.cn/user2/waruqi/archives/2006/1452762.shtml