磁共振指紋低秩交替乘子法重建（一）

本文是Low rank alternating direction method of multipliers reconstruction for MR fingerprinting一文的翻譯閱讀筆記，它於5 March 2017發表在Magnetic Resonance in Medicine上，如下圖所示可以去這裏下載，論文截圖如

作者Jakob Asslander等來自NYU。

摘要

目的

提出的方法論述了磁共振指紋的重建精度，噪聲傳播以及計算時間。

方法

基於信號演變的奇異值分解，磁共振指紋可表述爲低秩逆問題，在這一問題中，圖像通過考慮到的奇異值來重加。信號演變的低秩逼近通過減少傅里葉變換的數量來降低計算負擔。同時，低秩逼近改善了問題，這將通過擴展低秩逆問題爲增廣拉格朗日方法來改善，增廣拉格朗日則通過交替乘子法來解決。在仿真中，我們分析 了根均方誤差和噪聲傳播。爲了驗證結果，我們進行了活體實驗。

結果

提出的低秩交替乘子法表明，相比原始的磁共振指紋重建、僅用低秩逼近以及僅用交替乘子法而沒有低秩逼近，此方法有更小的根均方誤差。合併領靈敏度編碼可以進一步減少僞影。

結論

相比提到的其它磁共振指紋重建方法而言，本文中提出的方法提供了穩健的收斂性，降低了計算負擔，改善了圖像質量。

關鍵詞

定量MRI，參數映射， 磁共振指紋，奇異值分解，並行成像， 增廣拉格朗日

介紹

在磁場中，大型自旋1/2合奏的動力學一般由布洛赫方程描述。布洛赫方程通過帶有本徵時間常數T1 和T2 的弛豫項分別來捕獲自旋-晶格之間和自旋-自旋之間的相互作用。在臨牀上可行的測量時間內精確地量化這些參數是可取的，例如用於長期研究並創造綜合的對比。

下列的。爲了保持在限制內的測量時間，我們通常在一次單個弛豫過程中採集多個數據點。這同樣適用於T2圖譜，T2成像中經常用到多自旋迴波序列。已經提出通過在不同翻轉角下獲取多幅圖像來進行T1和T2成像，這已經被證明在時間上非常有效（2-5）。然而，這些快速成像技術需要與自旋組合進行多次交互，這大大阻礙了自由弛豫並且由於磁化轉移和其他效應中的仿真回波而引入系統噪聲。

近年來，基於模型的參數成像已經變得越來越受歡迎，出於多種原因。Doneva等（6）使用了預學習的正交字典來加速反轉恢復和基於多自旋迴波的T1和T2成像實驗。他們提出通過增強空域中的稀疏性來從高度降採樣數據中重建圖像，比如，他們認爲少數的字典詞條足以描述信號演變。或者，基於模型參數成像可以在快速成像技術中用來消除系統誤差。例如，多自旋迴波實驗中的基於模型的T2成像，已經表現出增加的精度，當把來自仿真回波中的信號合併起來時。

基於模型方法的MRF(9)主要用於結合加速和準確度。MRF不同於傳統的磁共振脈衝序列設計概念通過故意避免了穩態磁化，並且依賴布洛赫方程來解釋測量信號。去除了穩態（或指數弛豫）強加的約束後， MRF打開了豐富的新的序列設計空間，這基本上轉變了MR實驗進行的方式。例如，多發射通道可以直接合併到序列中以在高場磁共振系統中各向異性的射頻場情形下進行定量成像，以及梯度波形可以加以自由調製，從而將傳統磁共振系統中的噪聲轉變爲音樂（11）。

在MRF中，每個TR上的激發態一般都不一樣。因此，不同的重複不大容易結合起來，這使得奈奎斯特採樣梯度編碼在臨牀上可行的空間分辨率和合理的測量時間內不可行。原始論文用兩步程序來處理這一問題：首先，將降採樣的k空間數據投影到圖像空間上，這將導致一系列的混疊圖像；第二，將每一體素的時間序列與預定義的字典進行匹配。在每個體素的時間序列中的混疊僞影與字典之間的相關性消失的前提下，具有高度相關性的原子（字典入口）是通過

理論

下面我們將會推導在一個方程裏描述整個MRF實驗的體系。剛開始，這看起來也許有點難處理，但是它便於推導我們提出的方法。

動態MRI信號方程

這部分描述了信號形成，這一過程假定任意圖像時間序列，都可以用一個單一向量x∈CNT 來描述，其中N 表示體素數量，T 是時間框架數。圖像時間序列有以下結構：

x=（x1,1,…,xN,1,…,x1,T,…,xN,T）′,(1)

其中 ′  表示向量轉置。我們進一步讓k− 空間軌跡隨着不同的TRs 而變化。出於簡便，我們假定每個TR 中的軌跡有相同的長度K ，這並不意味着普遍損失。觀測信號可以用向量S∈CKT 表示。使用非歸一化的快速傅里葉變換（nuFFT），我們可以用簡單的線性方程來表示觀測過程。

S=G⋅F⋅x(2)

其中F∈CNT×NT 是分塊對角矩陣，在對角線上包含T 個分塊，每一個分塊表示沿着所有考慮到的空間維度上的相同傅里葉變換（可以參見附錄中的Eq.(23) ）。考慮到F 可以用沿着空間維度的每一幀（時間框架）的FFT來運算。網格算子G∈CNT×NT 將笛卡爾k− 空間數據網格化爲非笛卡爾軌跡。因爲網格化是一幀一幀的算子，所以G 也是分塊對角矩陣。

磁共振重建問題

MRF的關鍵要素是用預先計算的字典對信號進行建模，其中每個原子描述隨着時間的推移的信號演化，給定一組特定的弛豫鬆弛參數（以及潛在的其他效應）。因此，我們可以用δ∈CT×A 表示字典，其中A 是字典中的原子數。在將所有原子標準化爲單位l2 範數之後，我們可以通過在估計的時間序列中找出使內積最大化的原子，來確定每個體素的T1 和T2 [9]。所有體素的最佳擬合原子可以合併成爲具有以下結構的單個矩陣D∈CNT×N

D=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜d1,1⋮0⋮d1,T⋮0⋯⋱⋯⋮⋯⋱⋯0⋮dN,1⋮0⋮dN,T⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟(3)

D 每一列的非零元素對應字典原子。積DHx 是尺度因子向量，它反應了每個像素中的質子密度， 其中 H  表示埃爾米特共軛（或者共軛轉置）。因此，DDHx 是由字典詞條組成的圖像的時間序列， 詞條可以伸縮以匹配x 。MRF通常假設全體體素的信號演變可以用字典以及完整的前向模型描述，如下

S=G⋅F⋅D⋅DH⋅x.(4)

一般的MRF重建問題可以用一下公式表述

minD,x∥G⋅F⋅D⋅DH⋅x−S∥22(5)

這兩個未知數D 和x 是倍乘的，因而導致式[5]是一個非凸優化問題。

原始MRF重建

Ma et al.[9] 使用了兩步來解決方程(5)。首先，他們使用了濾波反投影（FBP）算法來重建圖像的時間序列。在式[2]的標記中，重建算法如下式所示

xBP=FH⋅GHdc⋅S,(6)

其中，GHdc 是密度補償重網格化算子。
給定圖像xBP 的時間序列，我們用字典來決定每個像素的弛豫時間。儘管原始的MRF重建用最大相關原則來尋找最佳字典匹配，下列的l2 範數可以等價優化爲:

D=argminD∥xBP−D⋅DH⋅xBP∥22(7)

這裏，每個體素（D 的列）可以分別處理。在字典中，通過詳細的搜索，原子就是在最小二乘意義上選出的與對應體素的圖像序列的最優匹配。

低秩MRF重建問題

正如參考文獻[24]中所示，字典可以用奇異值分解來壓縮：

δ=uΣvH.(8)

字典矩陣的低秩逼近可以用下式表示

δ˜=uHR⋅δ(9)

其中uR∈CT×R 包括酉矩陣u 的前R 列， R 是近似秩。從這裏起，波浪字符表示與低秩逼近相關的變量。

假定x 每個體素的圖像序列可以用以字典中的一個原子來表示，則x 可以用下式來近似

x˜=UHR⋅x(10)

其中UR∈CNT×NR 是有下列加權等式組成的分塊矩陣：

UR=⎛⎝⎜⎜u1,1⋅1⋮uT,1⋅1…⋱…u1,R⋅1⋮uT,R⋅1⎞⎠⎟⎟(11)

這裏ut,r∈C 是矩陣u 的前R 列， 1 是大小爲N×N 的單位矩陣。壓縮後的字典矩陣D~∈CNR×N 可以用相同的方法計算（D~=UHR⋅D ），並且和D 有相同的結構。與圖像序列x~∈CNR 的低秩近似一起，MRF低秩重建問題可以用下式描述：

minD~,x˜∥G⋅F⋅UR⋅D~⋅D~H⋅x˜−S∥22(12)

由R 個相同的傅里葉矩陣組成的分塊對角矩陣可以表示爲F~∈CNR×NR ，類似於F∈CNR×NR 。F~ 和F 的分塊對角結構與 UR 可用於證明F~⋅UR=UR⋅F ， UR 由加權矩陣組成。正如前文提到的一樣，我們通常沿着整體空間維度來執行F~ 作爲FFT的結果。通過改變傅里葉變換的階數和奇異值壓縮，FFTs的計算時間減少一個因子R/T 。進一步地，在實際重建之前G 和UR 可以結合成稀疏矩陣

G~≡G⋅UR(13)

這將低秩MRF重建問題簡化爲

minD~,x˜∥G~⋅F~⋅D~⋅D~H⋅x˜−S∥22(14)

這一目標函數的評估需要R 個FFT算子（對應於每一個考慮的奇異值）和稀疏矩陣-向量乘法。矩陣G~ 將每一個生成的R個笛卡爾k− 空間數據集合網格化到整個實驗中的非笛卡爾空間軌跡上。因此，相比G 是一幀一幀地網格化k− 空間數據，網格化算子的計算負擔以因子R 增加。

低秩反投影

McGivney et al. [24]引入了SVD壓縮用於MRF， 以減少匹配 x~  和壓縮的字典的計算負擔。在原始的MRF重建[9]中，他們首次提出用方程(6)來重建xBP ，然後用方程[10]來壓縮時間序列並匹配生成的x~BP 。這一過程等價於低秩反投影

x~BP=F~H⋅G~Hdc⋅S.(15)

這一匹配過程可以由類似於方程[7]的下列的低秩案例給出。

D~BP=argminD~∥x~BP−D~⋅D~H⋅x~BP∥22.(16)

低秩倒置

一般的，像方程(6),(15)一樣，濾波反投影不能解決上上述給定的逆問題。方程(6)中前向算子的逆沒有約束是不可能的，因爲在實際的MRF執行過程(KT≪NT)∗ 中，它是高度降採樣的。另一方面，可以使用低秩近似獲得一個過定系統(KT≥NR) ，其中R≪T 。在推導形式上，可以直接明確地表示逆問題：

xinv~=argminx~∈CNR∥G~⋅F~⋅x˜−S∥22.(17)

這是一個線性系統，可以用共軛轉置（CG）算法加以解決。這一過程搜索能夠在最小二乘意義上最能描述觀測信號。解決了方程[17]後，方程[16]就可用於字典匹配。

低秩交替方向乘子法

根據MRF實驗和重建的具體實施情況，KT≥NR 條件可能不滿足。即使是這樣，對應於倒置的前向算子G~F~ 的條件數可能很高，這使得上述方法不可行。

最近提出的用於原始MRF(13,14)的ADMM算法（23）論述了重建問題，文中通過變量分裂來解決方程[14]。這一方法可以用增廣拉格朗日式來表示

{x˜ADMM,D~ADMM,y˜ADMM}=argminx˜,D~,y˜∥G~⋅F~⋅x˜−S∥22+μ∥x˜−D~D~Hx˜+y˜∥22.(18)

第一項表示數據一致性項，等價於方程[17]。第二項比較了分離後的變量x~ 和它在字典上的投影D~D~Hx˜ 。這裏，拉格朗日乘子y~∈CNR 表示成了可縮放的對偶形式[23]， 其中μ 是ADMM懲罰項。

同時在它們的積空間中搜索最優的x~ ，D~ ，y~ 是比較有挑戰的非線性問題。ADMM論述這一問題通過交替解決

x˜j+1=argminx˜∥G~⋅F~⋅x˜−S∥22+μ∥x˜−D~jD~Hjx˜+y˜j∥22.(19)

D~j+1=argminD~∥x˜j+1−D~D~Hx˜j+1+y˜j∥22.(20)

y~j+1=y~j+x~j−D~j+1D~Hj+1x˜j+1.(21)

方程（19）是一個線性優化問題，可以用共軛轉置算法來解決。方程（20）中的最小化可以通過在字典中對每一個體素進行詳細的搜索來解決。注意到由於拉格朗日乘數，方程（20）不同於最大化相關問題，它增加到原來計算負擔的2倍，然而計算複雜度依舊保持不變。拉格朗日乘子的更新（方程（21））具有用於ADDM算法(23)的標準形式，並越來越多地解決x~j−D~jD~Hjx~j 中的這些錯誤，x~j−D~jD~Hjx~j 在多次迭代中保持不變。根據正則化的逆問題，方程中的拉格朗日乘數(18)可能會被考慮爲不必要的。但是，爲了解決方程[14]，它避免了隨着j的增加（23）對μ→+∞不斷增加 \mu$的必要性。最終，它加速了收斂的ADMM算法。

方程[18]中的優化問題是非凸的，以致算法的收斂性取決於初始推測（13）。這裏我們用x˜0=0 ， (D~D~H)0=1 ，y˜0=0 來初始化算法。請注意(D~D~H)0=1 並不是由字典描述的，並被選用在第一次迭代的時候將方程（18）變換爲方程（17）.在關於反演的良態G~F~ 的限制下，一次ADMM迭代就可以解決MRF重建問題。在輕度病態方程(17)的情況下，我們期望第一次的ADMM迭代能夠很好地逼近解，從而得到良好的收斂性。情況並非如此，而是數據的一致性是高度病態的，包括例子，如參考文獻（13,14）中所使用的那樣，它是欠定的。

靈敏度編碼

並行成像[25]有助於進一步提高重建的條件，此時，共軛轉置靈敏度編碼（SENSE）[26]用於重新表示數據一致性項：

{x˜ADMM,D~ADMM,y˜ADMM}=argminx˜,D~,y˜∑c∥G~⋅F~⋅E~c⋅x˜−Sc∥22+μ∥x˜−D~D~Hx˜+y˜∥22.(22)

在傅里葉變換之前， 用對角矩陣E~c∈CNR×NR 乘以搜索向量x˜ ，然後與線圈觀測的信號Sc 進行比較，其中E~c 包含線圈c 靈敏度分佈R 個重複。全體線圈元素的和提供了總體的數據一致性項的代價。注意到SENSE也可以以同樣的方式合併到低秩倒置(方程（17）)中。

方法

本着可重複研究的精神，所提出的算法的源代碼可以在以下網址找到源代碼網址。

仿真

所有的仿真都是在參考文獻14中描述的僞隨機穩態自由進動（bSSFP）模式下進行的。翻轉角組合在圖1a中顯示，它是由RF脈衝後跟一個反轉脈衝組成的，其中RF脈衝具有具有變化的翻轉角，並且連續的脈衝間有一個值爲π 的相位增加。

圖像重建

根均方誤差

噪聲分析

靈敏度編碼

活體實驗

結果

仿真

重建R=5

重建R=20

靈敏度編碼

活體實驗

結論

討論

本文中提出了一種MRF重建框架，它以兩種不同的方式結合數據模型。信號演變的低秩逼近是在字典矩陣的奇異值分解的基礎上計算的。此外，匹配到的最優字典詞條被用來約束每個體素內的信號演變。然後使用交替乘子法來加速優化信號演變的低秩逼近，以及信號演變在字典上的投影。產生的定量圖譜表明相比原始的磁共振指紋重建方法，本方法有更小的誤差和更高的信噪比，原始方法僅使用低秩逼近和ADMM算法，ADMM算法是在時間域而不是低秩空間進行的。該算法是MRF的一般重構框架，可以很容易地應用即插即用並行傳輸[10]和化學交換MRF-X[36]等等。

附錄

f傅里葉變換與壓縮矩陣的計算
爲了證明F~⋅UR=UR⋅F ， 我們將F 表示爲N×N 的分塊矩陣，在它的主對角線上包含傅里葉變換矩陣f∈CN×N ，其餘位置都是0 矩陣：

F=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜f0⋮00f⋱⋯⋯⋱⋱0000f⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟.(23)

結合方程(11)中的標記， UR 和F 的積可以寫成：

UR⋅F=⎛⎝⎜⎜u1,1⋅1⋅f⋮u1,R⋅1⋅f⋯⋱⋯u1,1⋅1⋅f⋮uT,R⋅1⋅f⎞⎠⎟⎟.(24)

如果我們將F~ 表示爲R×R 的分塊對角矩陣，主對角線上爲同一個矩陣f ， 我們可以等價的表示爲

F~⋅UR=⎛⎝⎜⎜f⋅u1,1⋅1⋮f⋅u1,R⋅1⋯⋱⋯f⋅uT,1⋅1⋮f⋅uT,R⋅1⎞⎠⎟⎟.(25)

由於標量ut,r 和單位矩陣1 總是通勤， (24)，(25)可以合併產生

F~⋅UR=UR⋅F.(26)