加速動態磁共振重建的低秩係數分解模型

Low-Rank and Sparse Decomposition Model for Accelerating Dynamic MRI Reconstruction，本文源自2017年8月8日的Journal of Healthcare Engineering,截圖如下
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介紹

理論背景

k-t空間的動態磁共振數據採集可以用下式表示

y(k,t)=∫x(r,t)exp(−2πjk⋅r)dr+n(k,t).(1)

其中y(k,t) 表示觀測到的k-t空間信號，x(r,t) 表示期望的動態圖像序列，n(k,t) 爲觀測噪聲，它可以用一個額外的白噪聲的高斯分佈[16][17]來進行合理的模擬.

本文中，問題的解決方案是爲了從降採樣的觀測數據y(k,t) 中找出磁共振圖像x(r,t) 的最近似表示，(1) 式可以轉換爲一個逆問題，並且可以重寫成向量形式[18]。

Y=RFX+n.(2)

其中Y=[y1|…|yT] ，X=[x1|…|xT] ，n=[n1|…|nT] ， T 是框架中的元素個數，F 爲傅里葉變換算子，觀測矩陣R 爲降採樣掩模，它被用於k空間。

基於壓縮感知的磁共振圖像重建

壓縮感知方法[5,19]被提出用於從部分採樣的k空間數據Y 中重建出磁共振圖像X ,這一過程是利用稀疏變換和凸優化算法來實習的。如果我們找到滿足式(2) 的稀疏向量，那麼問題將得到解決。

minX∥DX∥0s.t.∥Y−RFX∥2≤ϵ(3)

其中∥⋅∥ 是l0 範數，它用來計算向量中非零元素的個數，D 是稀疏變換或者字典，ϵ 是一個較小的常數。不幸的是，(3) 是NP難問題，這需要通過蠻力搜索來解決。壓縮感知理論[8]提供了凸鬆弛方法，指的是(3) 式中的l0 範數可以用l0 範數最小化來代替，

minX∥DX∥1s.t.∥Y−RFX∥2≤ϵ,(4)

其中∥⋯∥ 是l1 範數，表示向量的絕對值之和。

低秩稀疏分解

基於壓縮感知的技術已經完全成功地應用於磁共振圖像重建，它利用了圖像在變換域
的稀疏性。然而， 壓縮感知的性能主要依賴於特定的字典或者稀疏算子，這限制了最大可實現的加速度。因此，一些研究者嘗試研究一些新方法來重建磁共振圖像[20-24]。這些方法中，低秩矩陣恢復是醫學圖像處理中最流行的一項技術。

低秩的基本假設和[18]一樣，也即，圖像X 是同時稀疏（在圖像域內）並且低秩的。現在的問題是從給定的少量k -空間數據Y 中恢復X , 少量數據是相對矩陣中的元素個數而言的。我們假定矩陣的近似秩爲r ，圖像的大小爲M×N 。當矩陣X 是低秩時，它只有r(M+N−r) 個自由度而不是MN 個， 這就有可能從少量的採樣點中通過解決秩最小化問題來恢復矩陣X ，

min rank(x)s.t.∥Y−M（X)∥2≤ϵ(5)

然而，秩最小化問題，也即解決式(5) ， 是組合問題也是NP難問題[25]。因此，凸鬆弛經常用於使得最小化問題更容易處理。

minX∥X∥∗s.t.∥Y−M（X)∥2≤ϵ(6)

其中M 表示任意的線性算子，∥X∥∗ 是核範數，可以定義爲

∥X∥∗=∑i=1kσi,(7)

其中σ1,σ2,…,σr 是X 的奇異值，r 是X 的秩。

爲了從給定的Y 恢復X ，\boldsymbol{X}可以分解爲地址矩陣\boldsymbol{A}和稀疏矩陣\boldsymbol{E}的疊加。

X=A+E(8)

X 可以有下列優化問題的解決方案中恢復：

minA,E∥A∥∗+γ∥E∥s.t.∥Y−M(A+E)∥2≤ϵ(9)

其中低秩矩陣A 有非零奇異值並且表示背景元素，稀疏矩陣E 有非零元素值，它對應於變化， γ 是可調整參數，用於平衡l1 範數相對核範數的貢獻。

提出方法

在主成分追蹤模型[26]中，爲了解決式(9) ，它可以用正則化而不是嚴格的約束[15]來形成一個優化問題。因此，(9) 可以轉換爲

minL,S∥Y−M(A+E)∥2F+λL∥A∥∗+λS∥TE∥1,(10)

其中參數λS 和λL 用於平衡數據一致性，T 是稀疏變換基。

方程(10) 是一個正則化的主成分追蹤（RPCA）問題，它包括最小化核範數和l1 範數的組合。Otazo et al. 研究[15]採用了迭代閾值方案去解決(10) ；然而，迭代閾值收斂慢。因此，我們提出了一種不嚴格的增強拉格朗日乘子算法來解決RPCA問題[27]。 根據式(6) 中的約束

MHy=A(n)+E(n)=X(n),(11)

其中MH 是對偶算子，X(n) 包含觀測噪聲，A(n) 和E(n) 分別是低秩元素和稀疏元素。我們應用IALM方法來解決下列優化問題

minL,S∥A(n)∥∗+λ∥TE(n)∥1+<L,MHy−A(n)−E(n)>+μ2∥MHy−A(n)−E(n)∥2F(12)

其中L 是拉格朗日乘子，用來消除等式約束，μ 是一個很小的正標量。條件∑+∞k=1μ−1k=+∞ 表明μk 不會增長太快。IALM方法用於解決RPCA問題的步驟可以參考算法1.

對算法1，如果{μk} 是非遞減並且∑+∞k=1μ−1k=+∞ ，那麼在RPCA問題中(Ak,Ek) 收斂於一個優化解(A∗,E∗) 。無約束{μk} 的優點是可行性條件Ak+Ek=X 可以快速逼近，因爲X−Ak−Ek=Lk−Lk−1/μk−1 和Lk 是受約束的。在算法1中，單一閾值算子[28]可以定義爲

SVTλ(D)=UΛλ(Σ)VH,(13)

其中D=UΣVH 是D 的任意一個奇異值分解。Λλ(Σ) 是軟閾值算子，可以定義爲

Λλ(Σ)=x|x|max(|x|−λ,0).(14)

實驗結果與討論

實驗是在MATLAB V7.14.0 (R2012a)， Intel Core i7-2640 M CPU, 4.0 GB 內存，64-bit Win7操作系統上運行的。提出的算法採用兩個心臟電影數據集， 來進行實驗驗證。第一個數據集是從Bio Imaging and Signal Processing Lab上獲取的，
這裏包含了nt=25 個時間框架，大小爲nx=ny=256 ，視野爲345×270mm2 ，層厚爲10mm 。

第二個數據集可以從的Dr. Caballero網站上獲取
ta是由Caballero et al. [12]引入的，相關的圖像參數如下：圖像矩陣大小爲256×256(nx×ny) ，時間框架數爲30(nt ), FOV=320×320mm2 , 層厚爲10mm .

兩種廣泛使用的採樣軌跡，笛卡爾和徑向採樣策略被用於k -空間的MR數據集採樣。圖1顯示了研究中的採樣掩模以及他們在一個時間框架上的幅度。

我們從重建精度和重建速度量方面，比較了提出的算法和k-t SLR[10]以及k-t RPCA[16]。定量圖像質量評估可以採用峯值信噪比（PSNR）和結構相似性索引（SSIM）這兩個準則。PSNR用於估計重建圖像和全採樣圖像之間的差異，可以定義爲

PSNR=−10log10(∥X^−X∥2F∥X∥2F)(15)

其中X^ 是重建圖像，X 表示全採樣圖像。

SSIM是測量重建圖像和全採樣圖像之間相似性的一種新方法。對每一個時間框架{xn}ntn=1 ，我們採用SSIM去測量重建圖像和全採樣圖像之間的差異；同一重建圖像xRec 和全採樣圖像xF 之間的SSIM索引可以用下式來評估：

SSIM(x,y)=(2μxRμxF+c1)(2σxRxF+c2)(μ2xR+μ2xF)+c1)(σ2xR+σ2xF+c2),(16)

其中μxR 和μxF 是重建圖像xRec 和全採樣圖像xF 的平均灰度值 σF 和σxR 是重建圖像xRec 和全採樣圖像xF 的標準差，σxRxF 是重建圖像xRec 和全採樣圖像xF 的協方差， c1=(K1L)2 ， c2=(K2L)2 是常數，其中L 是動態範圍爲[0,255] 的8位灰度圖像。Wang et al. [29]文中建議的參數值爲K1=0.01 ，k2=0.03 /

k-t SLR算法結合了TV和非凸Schatten p範數，其中p=0.01 ; 一些參數選爲基於公開的軟件包中的推薦值（Schatten懲罰項參數β1=10−9 , TV範數中則爲β2=10−2 ， 最大的內部迭代數爲50， 最大的外部迭代數爲9）。在k-t RPCA算法中，兩個正則化參數爲μ=200 ，ρ=1.5 ，分別對應正則化項和分解項。

類似地，本文提出的這一方法需要三個參數λ ，ρ 和μ 的具體化。我們設定μ0=1.5/∥X∥2 ， ρ=1.2 。我們採取∥X−Ak−Ek∥F/∥X∥F<10−7 作爲算法1的終止條件。在[16]作者的建議下，我們選擇了一個固定的加權參數λ=max(nx∗ny,nt)−1/2 ，提出的算法經實驗驗證有效，採用了全採樣的心臟電影（前文提到的兩個數據集）以及兩種不同的採樣軌跡。

爲了仿真k -空間的加速，全採樣k -空間數據是通過變密度（採樣因子）隨機採樣方式人爲降採樣來實現的。爲了測試所提出的方法的魯棒性，兩個數據集的k -空間數據都被固定標準差σ=15 的高斯白噪聲污染了。首先，在第一個心臟數據集上進行測試，採用了不同的採樣模型，同時採用了不同的採樣率。圖2中展示了可視化質量比較，它比較了提出的方法（算法1）和其他算法的重建結果。笛卡爾採樣掩模的加速因子近似爲4（大約是獲取數據的25%)。圖3展示了笛卡爾採樣和僞徑跡採樣方式重建結果的PSNR，其中採樣方式是關於採樣因子的函數。可以看出在僞徑跡採樣方式情況下，本文提出的算法的性能由於其他兩個方法。但是在低採樣率笛卡爾採樣方式下，本文算法的性能稍微差於k-t SLR方法。此外，圖4展示了在笛卡爾和徑跡兩種採樣方式在同一採樣因子（加速因子近似爲6，大約16.4%的獲取數據）下，不同時間框架的SSIM。實驗結果表明提出的方法就SSIM而言，實現了較優越的結果。當採用僞徑跡採樣方式而不是笛卡爾採樣方式時， 並且因此我們的方法的優勢相對而言更明顯。

更多地，我們用同樣的方法在第二個心臟數據集上測試我們提出的方法。圖5提供了可視化估計

總結

本文中，我們提出了一種快速算法（IALM），用於解決RPCA優化問題，從而從高度降採樣k -空間數據中恢復出dMRI序列。我們提出的算法具有一般性，可用於將動態磁共振數據分離成低秩部分和稀疏部分。並且這一算法可以從部分觀測數據同時重建和分離動態MR數據。在心臟數據集上進行的實驗驗證了算法的有效性和高效性， 相比最先進的算法而言。