HDU 2121 Ice_cream's world II 朱劉算法求無固定根最小樹形圖

題目鏈接：HDU 2121

題意：找出一個總權值最小的最小樹形圖，並輸出其根結點編號。

分析：

①構造無固定根的最小樹形圖

        題目要求找出最小樹形圖中總權值最少的一個圖，而對給出的每個點使用朱劉算法來求固定根的最小樹形圖的做法的算法複雜度爲O(V^2*E)，顯然會超時。因此可使用通過虛擬根構造最小樹形圖的做法，構造出一個虛擬的結點，作爲固定根，將該虛擬根結點與給出的每個結點的用權值爲r的虛擬邊連接，並在最後除去虛擬根，即所求得的最小樹形圖的總權值減去r便是原圖中總權值最小的最小樹形圖的總權值了。

        由於虛擬根的存在有可能使得最後除去虛擬根後的圖不是連通圖，即虛擬根構造的最小樹形圖中，虛擬根連接着多個子結點，這表明原圖是不連通的，這時可判定最小樹形圖不存在。我們可令r的值在總權值不會溢出的前提下儘量大，這樣在最後判定虛擬根是否把非連通圖連接成連通圖時，可通過判定w的值是否大於2 * r來判定，若大於2 * r，則虛擬根連接了至少兩條虛擬邊，則最小樹形圖不存在。

②找出所求得的最小樹形圖的根

        由於在跑朱劉算法的過程中，結點的ID會發生改變，邊的出邊u, 入邊v頂點號也會隨之改變，則不能直接通過邊的出、入頂點尋找虛擬根連接的結點。因此可在每次構圖過程中記錄虛擬根的出邊的Edge邊下標Rt，最後通過尋址方式，得到該邊的原v值，從而找到最小樹形圖的根。

代碼如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int N = 1111;
const int M = 22222;
const int inf = 0x7fffffff;
int pre[N], ID[N], vis[N], In[N], tot, Rt;

struct Edge
{
    int u, v, cost;
} E[M];

void addedge(int a, int b, int c) { E[tot].u = a, E[tot].v = b, E[tot++].cost = c; }

int Directed_MST(int root, int NV, int NE)
{
    int ret = 0;
    while(true) {
        // 1.找最小入邊
        for(int i = 0; i < NV; i++) In[i] = inf;
        for(int i = 0; i < NE; i++) {
            int u = E[i].u;
            int v = E[i].v;
            if(E[i].cost < In[v] && u != v) {
                pre[v] = u;
                In[v] = E[i].cost;
                if(root == u) Rt = i;
            }
        }
        for(int i = 0; i < NV; i++) {
            if(i == root) continue;
            if(In[i] == inf) return -1; // 除了跟以外有點沒有入邊,則根無法到達它
        }
        // 2.找環
        int cntnode = 0;
        memset(ID, -1, sizeof(ID));
        memset(vis, -1, sizeof(vis));
        In[root] = 0;
        for(int i = 0; i < NV; i++) { // 標記每個環
            ret += In[i];
            int v = i;
            while(vis[v] != i && ID[v] == -1 && v != root) {
                vis[v] = i;
                v = pre[v];
            }
            if(v != root && ID[v] == -1) {
                for(int u = pre[v] ; u != v ; u = pre[u]) {
                    ID[u] = cntnode;
                }
                ID[v] = cntnode++;
            }
        }
        if(cntnode == 0) break; // 無環
        for(int i = 0; i < NV; i++) {
            if(ID[i] == -1) ID[i] = cntnode++;
        }
        // 3.縮點,重新標記
        for(int i = 0; i < NE; i++) {
            int v = E[i].v;
            E[i].u = ID[E[i].u];
            E[i].v = ID[E[i].v];
            if(E[i].u != E[i].v) {
                E[i].cost -= In[v];
            }
        }
        NV = cntnode;
        root = ID[root];
	}
	return ret;
}

int main()
{
    // freopen("in", "r", stdin);
    int a, b, c, n, m;
    while(~scanf("%d%d", &n, &m)) {
        tot = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++) {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            addedge(a, b, c);
        }
        int r = 111111111;
        for(int i = 0; i < n; i++) addedge(n, i, r);
        int as = Directed_MST(n, n + 1, m + n);
        if(~as && as - r < r) printf("%d %d\n", as - r, Rt - m);
        else puts("impossible");
        puts("");
    }
    return 0;
}