51 Nod 1083 矩陣取數問題（動態規劃）

原題鏈接：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1083

題目分析：通過讀題發現我們只能往右邊或者下邊走，意味着“不走回頭路”,就是說矩陣裏面每個位置最多隻會經過一次。其實很多地方是“沒有機會”經過的。比如我現在在第  行的第  列，不管之前走的路徑是什麼樣子，則它左邊和上邊的位置都是不可能再走到的。也就是說，我先在在矩陣第  行的第  列，並假設以它爲原點把矩陣分成四個“象限”，只有第四象限的位置纔有可能從這以後經過 （當然還包括橫軸的正半軸）！

假設我們從起點走到終點的過程中經過第  行的第  列某個位置，爲了從起點到終點得到的和最大，那麼從起點到第  行的第  列這個位置經過的數的和也一定要最大。我們定義集合  是從起點到第  行的第  列的全部路徑集合，定義集合  是從第  行的第  列到終點的全部路徑集合。那麼起點到終點的路徑實際上是子路徑 ∈ 和子路徑 ∈ 的連接（注意刪掉第  行的第  列這個點，否則走了兩次了)。 即所有經過第  行的第  列的路徑都可以劃分到  和 這兩個集合裏，而且任何 ∈ 和子路徑 ∈ 都可以拼接出一條經過第  行的第  列的路徑。那麼我要選擇一條經過  的能得到最大值的路徑，顯然要選擇  集合里路徑和最大的 ,（其實還要選  集合裏和路徑和最大的 ）。

說了這麼多，其實就是想明確一個事：從起點到終點的最優路徑上經過了  個點，則這條路徑上對應起點到這  個點的子路徑也都從起點到該位置的所有路徑中和最大的路徑。

那麼假設我們定義  表示從起點到第  行的第  列的最優路徑上的數之和，並假設這個矩陣事個二維數組  (下標從  開始)。我們考慮一下，我們如何才能到 ?前一步要麼到 ， 要麼到  ，因爲有且只有這兩個位置能到 ，那麼怎樣才能得到  ? 按我們前面說的，如果從起點達到  的最優路徑要經過 或者 則，從起點到達  或者  的路徑一定也必須是最優的。那麼按照我們對  的定義，我們有從起點達到  的最優路徑有兩種可能：

• 要麼 
• 要麼 

我們要取最優，那自然取較大的，因此有  。這樣原來要枚舉指數條路徑，現在對於每個位置只有兩種情況啦。有了遞推關係還不夠，有初值才能求解。那我們看一下，顯然這是在起點，沒的選。那麼按照遞推式  ， 但是我們對 沒有定義呀！考慮下實際意義，這表示要麼我們從上面到達  ，要麼從左面到達 。可是上面沒有位置過來啊，這種說明沒的選。所以我們可以定義, 同理我們也可以定義。

那麼總結一下我們的遞推式：

分析一下這個算法的時間複雜度？ 顯然是 ，空間複雜度也一樣。

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代碼如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int INFTY = (1 << 29);

int main() {
	int n, a[505][505], dp[505][505];
	cin >> n;
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			cin >> a[i][j];
	
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		a[0][i] = INFTY;
		a[i][0] = INFTY;
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (i == 1 && j == 1 ) dp[i][j] = a[1][1];
			else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + a[i][j];
		}
	}	
	
	cout << dp[n][n] << endl;
	
	return 0;
}