動態規劃中遞推式的求解方法不是動態規劃的本質。
- 動態規劃的本質，是對問題狀態的定義和狀態轉移方程的定義。
引自維基百科
dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.
動態規劃是通過拆分問題，定義問題狀態和狀態之間的關係，使得問題能夠以遞推（或者說分治）的方式去解決。
本題下的其他答案，大多都是在說遞推的求解方法，但如何拆分問題，纔是動態規劃的核心。
而拆分問題，靠的就是狀態的定義和狀態轉移方程的定義。
1. 什麼是狀態的定義？
**
首先想說大家千萬不要被下面的數學式嚇到，這裏只涉及到了函數相關的知識。**
我們先來看一個動態規劃的教學必備題：
給定一個數列，長度爲N，
求這個數列的最長上升（遞增）子數列（LIS）的長度.
以
1 7 2 8 3 4
爲例。
這個數列的最長遞增子數列是 1 2 3 4，長度爲4；
次長的長度爲3， 包括 1 7 8; 1 2 3 等.
要解決這個問題，我們首先要定義這個問題和這個問題的子問題。
有人可能會問了，題目都已經在這了，我們還需定義這個問題嗎？需要，原因就是這個問題在字面上看，找不出子問題，而沒有子問題，這個題目就沒辦法解決。
所以我們來重新定義這個問題：
給定一個數列，長度爲N，
設爲：以數列中第k項結尾的最長遞增子序列的長度.
求中的最大值.
中的最大值.顯然，這個新問題與原問題等價。
而對於
上述的新問題
之所以把
對狀態的定義只有一種嗎？當然不是。
我們甚至可以二維的，以完全不同的視角定義這個問題：
給定一個數列，長度爲N，
設爲：
在前i項中的，長度爲k的最長遞增子序列中，最後一位的最小值..
若在前i項中，不存在長度爲k的最長遞增子序列，則爲正無窮.
求最大的x，使得不爲正無窮。
. 
不爲正無窮。這個新定義與原問題的等價性也不難證明，請讀者體會一下。
上述的
- 什麼是狀態轉移方程？
上述狀態定義好之後，狀態和狀態之間的關係式，就叫做狀態轉移方程。
比如，對於LIS問題，我們的第一種定義：
設
爲：以數列中第k項結尾的最長遞增子序列的長度.設A爲題中數列，狀態轉移方程爲：
（根據狀態定義導出邊界情況）
A_{i}, i\in (1..k-1)) ” eeimg=”1”>
1)” eeimg=”1”>
用文字解釋一下是：
以第k項結尾的LIS的長度是：保證第i項比第k項小的情況下，以第i項結尾的LIS長度加一的最大值，取遍i的所有值（i小於k）。
第二種定義：
設爲：在數列前i項中，長度爲k的遞增子序列中，最後一位的最小值設A爲題中數列，狀態轉移方程爲：
若F_{i-1,k-1}” eeimg=”1”>則
![F_{i,k}=min(A_{i},F_{i-1,k})]()
否則：
（根據狀態定義導出邊界情況） 
A_{i}, i\in (1..k-1)) ” eeimg=”1”>
1)” eeimg=”1”>
F_{i-1,k-1}” eeimg=”1”>則
（邊界情況需要分類討論較多，在此不列出，需要根據狀態定義導出邊界情況。）
大家套着定義讀一下公式就可以了，應該不難理解，就是有點繞。
這裏可以看出，這裏的狀態轉移方程，就是定義了問題和子問題之間的關係。
可以看出，狀態轉移方程就是帶有條件的遞推式。
3. 動態規劃迷思
本題下其他用戶的回答跟動態規劃都有或多或少的聯繫，我也講一下與本答案的聯繫。
a. “緩存”，“重疊子問題”，“記憶化”：
這三個名詞，都是在闡述遞推式求解的技巧。以Fibonacci數列爲例，計算第100項的時候，需要計算第99項和98項；在計算第101項的時候，需要第100項和第99項，這時候你還需要重新計算第99項嗎？不需要，你只需要在第一次計算的時候把它記下來就可以了。
上述的需要再次計算的“第99項”，就叫“重疊子問題”。如果沒有計算過，就按照遞推式計算，如果計算過，直接使用，就像“緩存”一樣，這種方法，叫做“記憶化”，這是遞推式求解的技巧。這種技巧，通俗的說叫“花費空間來節省時間”。都不是動態規劃的本質，*不是動態規劃的核心。*
b. “遞歸”：
遞歸是遞推式求解的方法，連技巧都算不上。
c. “無後效性”，“最優子結構”：
上述的狀態轉移方程中，等式右邊不會用到下標大於左邊i或者k的值，這是”無後效性”的通俗上的數學定義，符合這種定義的狀態定義，我們可以說它具有“最優子結構”的性質，在動態規劃中我們要做的，就是找到這種“最優子結構”。
在對狀態和狀態轉移方程的定義過程中，滿足“最優子結構”是一個隱含的條件（否則根本定義不出來）。對狀態和“最優子結構”的關係的進一步解釋，什麼是動態規劃？動態規劃的意義是什麼？ - 王勐的回答 寫的很好，大家可以去讀一下。
需要注意的是，一個問題可能有多種不同的狀態定義和狀態轉移方程定義，存在一個有後效性的定義，不代表該問題不適用動態規劃。
動態規劃方法要尋找符合“最優子結構“的狀態和狀態轉移方程的定義，在找到之後，這個問題就可以以“記憶化地求解遞推式”的方法來解決。而尋找到的定義，纔是動態規劃的本質。