時間複雜度的定義
一般情況下，算法中基本操作重複執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n)，使得當n趨近於無窮大時，T(n)/f(n)的極限值爲不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=O(f(n))，稱O(f(n))爲算法的漸進時間複雜度(O是數量級的符號 )，簡稱時間複雜度。
根據定義，可以歸納出基本的計算步驟
1. 計算出基本操作的執行次數T(n)
基本操作即算法中的每條語句（以;號作爲分割），語句的執行次數也叫做語句的頻度。在做算法分析時，一般默認爲考慮最壞的情況。
2. 計算出T(n)的數量級
求T(n)的數量級，只要將T(n)進行如下一些操作：
忽略常量、低次冪和最高次冪的係數
令f(n)=T(n)的數量級。
3. 用大O來表示時間複雜度
當n趨近於無窮大時，如果lim(T(n)/f(n))的值爲不等於0的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=O(f(n))。
一個示例：
(1) int num1, num2;
(2) for(int i=0; i<n; i++){
(3) num1 += 1;
(4) for(int j=1; j<=n; j*=2){
(5) num2 += num1;
(6) }
(7) }
分析：
1.
語句int num1, num2;的頻度爲1；
語句i=0;的頻度爲1；
語句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的頻度爲n；
語句j<=n; j*=2; num2+=num1;的頻度爲n*log2n；
T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n
解析：語句j<=n; j*=2; num2+=num1;的頻度爲n*log2n；爲什麼是Log2n啊?
所以 
2.
忽略掉T(n)中的常量、低次冪和最高次冪的係數
f(n) = n*log2n
3.
lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)
= 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3
當n趨向於無窮大，1/n趨向於0，1/log2n趨向於0
所以極限等於3。
T(n) = O(n*log2n)
簡化的計算步驟
再來分析一下，可以看出，決定算法複雜度的是執行次數最多的語句，這裏是num2 += num1，一般也是最內循環的語句。
並且，通常將求解極限是否爲常量也省略掉？
於是，以上步驟可以簡化爲：
1. 找到執行次數最多的語句
2. 計算語句執行次數的數量級
3. 用大O來表示結果
繼續以上述算法爲例，進行分析：
1.
執行次數最多的語句爲num2 += num1
2.
T(n) = n*log2n
f(n) = n*log2n
3.
// lim(T(n)/f(n)) = 1
T(n) = O(n*log2n)
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一些補充說明
最壞時間複雜度
算法的時間複雜度不僅與語句頻度有關，還與問題規模及輸入實例中各元素的取值有關。一般不特別說明，討論的時間複雜度均是最壞情況下的時間複雜度。這就保證了算法的運行時間不會比任何更長。
求數量級
即求對數值(log)，默認底數爲10，簡單來說就是“一個數用標準科學計數法表示後，10的指數”。例如，5000=5x10 3 (log5000=3) ，數量級爲3。另外，一個未知數的數量級爲其最接近的數量級，即最大可能的數量級。
求極限的技巧
要利用好1/n。當n趨於無窮大時，1/n趨向於0
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一些規則(引自：時間複雜度計算 )
1) 加法規則
T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O (max ( f(n), g(m) )
2) 乘法規則
T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))
3) 一個特例（問題規模爲常量的時間複雜度）
在大O表示法裏面有一個特例，如果T1(n) ＝ O(c)， c是一個與n無關的任意常數，T2(n) = O ( f(n) ) 則有
T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) )
也就是說，在大O表示法中，任何非0正常數都屬於同一數量級，記爲O(1)。
4) 一個經驗規則
複雜度與時間效率的關係：
c < log2n < n < n*log2n < n2 < n3 < 2n < 3n < n! （c是一個常量）
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較好 一般 較差
其中c是一個常量，如果一個算法的複雜度爲c 、 log2n 、n 、 n*log2n,那麼這個算法時間效率比較高 ，如果是 2n , 3n ,n!,那麼稍微大一些的n就會令這個算法不能動了，居於中間的幾個則差強人意。
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複雜情況的分析
以上都是對於單個嵌套循環的情況進行分析，但實際上還可能有其他的情況，下面將例舉說明。
1.並列循環的複雜度分析
將各個嵌套循環的時間複雜度相加。
例如：
for (i=1; i<=n; i++)
x++;
for (i=1; i<=n; i++)
for (j=1; j<=n; j++)
x++;
解：
第一個for循環
T(n) = n
f(n) = n
時間複雜度爲Ο(n)
第二個for循環
T(n) = n2
f(n) = n2
時間複雜度爲Ο(n2)
整個算法的時間複雜度爲Ο(n+n2) = Ο(n2)。
2.函數調用的複雜度分析
例如：
public void printsum(int count){
int sum = 1;
for(int i= 0; i<n; i++){
sum += i;
}
System.out.print(sum);
}
分析：
記住，只有可運行的語句纔會增加時間複雜度，因此，上面方法裏的內容除了循環之外，其餘的可運行語句的複雜度都是O(1)。
所以printsum的時間複雜度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)
*這裏其實可以運用公式 num = n*(n+1)/2，對算法進行優化，改爲：
public void printsum(int count){
int sum = 1;
sum = count * (count+1)/2;
System.out.print(sum);
}
這樣算法的時間複雜度將由原來的O(n)降爲O(1)，大大地提高了算法的性能。
3.混合情況（多個方法調用與循環）的複雜度分析
例如：
public void suixiangMethod(int n){
printsum(n);//1.1
for(int i= 0; i<n; i++){
printsum(n); //1.2
}
for(int i= 0; i<n; i++){
for(int k=0; k
System.out.print(i,k); //1.3
}
}
suixiangMethod 方法的時間複雜度需要計算方法體的各個成員的複雜度。
也就是1.1+1.2+1.3 = O(1)+O(n)+O(n2) ----> 忽略常數 和 非主要項 == O(n2)
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更多的例子
O(1)
交換i和j的內容
temp=i;
i=j;
j=temp;
以上三條單個語句的頻度爲1，該程序段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。算法的時間複雜度爲常數階，記作T(n)=O(1)。如果算法的執行時間不隨着問題規模n的增加而增長，即使算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類算法的時間複雜度是O(1)。
O(n2)
sum=0； /* 執行次數1 */
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
sum++； /* 執行次數n2 */
解：T(n) = 1 + n2 = O(n2)
for (i=1;i<n;i++)
{
y=y+1; ①
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++; ②
}
解： 語句1的頻度是n-1
語句2的頻度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1
T(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2
f(n) = n2
lim(T(n)/f(n)) = 2 + 2*(1/n2) = 2
T(n) = O(n2).
O(n)
a=0;
b=1; ①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{
s=a+b; ③
b=a; ④
a=s; ⑤
}
解： 語句1的頻度：2,
語句2的頻度：n,
語句3的頻度：n,
語句4的頻度：n,
語句5的頻度：n,
T(n) = 2+4n
f(n) = n
lim(T(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4
T(n) = O(n).
O(log2n)
i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②
解： 語句1的頻度是1,
設語句2的頻度是t, 則：nt<=n; t<=log2n
考慮最壞情況，取最大值t=log2n,
T(n) = 1 + log2n
f(n) = log2n
lim(T(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1
T(n) = O(log2n)
O(n3)
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解：當i=m, j=k的時候,內層循環的次數爲k當i=m時, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以這裏最內循環共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則循環共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次
T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n3-n)/2
f(n) = n3
所以時間複雜度爲O(n3)。