BLAS庫學習

BLAS(Basic Linear Algebra Subprograms)

1. 整個庫可以分爲三個部分

• Level 1 向量與向量操作
• Level 2 矩陣與向量操作
• Level 3 矩陣與矩陣操作

2. 部分名詞解釋

• A，B，C - 矩陣 (matrices)
• D，D~L~ ，D~R~ - 對角矩陣（diagonal matrices）
• H - Householder 矩陣，行列式 = 1
• J - 對稱三對角線矩陣 (symmetric tridiagonal matrix)
• P - 互換矩陣(permutation matrix)
• T - 三角矩陣（triangular matrix）
• op(A) - 表示 A，或者A^T^ 或者 A^H^
• transpose - 表示 A^T^

• conjugate-transpose - 表示 A^H^

• u,v,w,x,y.x - 向量 （vectors）

3. 方法名中的前綴

• S - 單精度 （float）
• D - 雙精度 （double precision）
• C - 複數 （complex)
• Z - 雙精度複數（complex * 16 或者 double complex）

4. 方法名中的關鍵字

• GB - 一般帶狀矩陣(general band)
• GE - 普通矩陣（general）
• HB - (complex) Hermitian band
• HE - (complex) Hermitian 埃爾米特矩陣（厄米矩陣/自伴隨矩陣）
• HP - (complex) Hermitian , packed storage 壓縮儲存Hermitian矩陣
• SB - (real) symmetric band 對稱帶狀矩陣
• SP - symmetric ， packed storage 對稱壓縮存儲矩陣
• SY - symmetric 對稱矩陣
• TB - triangular band 三角帶狀矩陣
• TP - triangular ，packed storage 三角壓縮矩陣
• TR - triangular 三角或者擬三角矩陣
• US - unstructured sparse 雜亂稀疏矩陣

5. 具體操作

[文檔](http://www.netlib.org/blas/blasqr.pdf)

6. 基礎知識

6.1.數與向量相乘

• 數k 與向量 a = (a , b , c )相乘,結果 k x a = (ka , kb , kc)

6.2. 向量與向量相乘(Vector)

• 設向量 a = (x~1~ , x~2~ , x~3~), b = (y~1~ , y~2~ , y~3~)；
  
  1. 點乘(Dot Product) \內積；結果爲標量(Scalar) ；點積爲0兩個向量垂直。當兩向量平行時，點積有最大值 \
     a · b = x~1~y~1~ + x~2~y~2~ + x~3~y~3~
  2. 叉乘(cross product)\外積；結果是個向量 \
     a x b = ( x~1~y~1~ , x~2~y~2~ , x~3~y~3~ )
  3. 加法；兩個向量相加，結果仍然是一個向量 \
     a + b = (x~1~ + y~1~, x~2~ + y~2~ , x~3~ + y~3~)

6.3 矩陣(Matrix)與向量(Vector)相乘

• 設矩陣A = |{a , b}, { c , d}| , 向量 a = (x,y)
  
  1. 矩陣與向量乘法,結果爲向量 \
     A x a = (ax + by,cx + dy)
  2. 矩陣A左乘向量a，此時a當作列向量處理\
     A x a = (ax + by , cx + dy)
  3. 矩陣A右乘向量a，則 a 被作爲行向量處理\
     a x A = (ax + cy , bx + cy)
  4. 矩陣A 左，右都乘 a 得出一個標量.\
     a x A x a = x (ax + cy) + y (bx + cy)

6.4 矩陣與矩陣相乘

• 矩陣 A~m,n~ = |{a,b},{c,d}|,矩陣B~j,k~ =|{1,2},{3,4}|;只有矩陣A的列數n與矩陣B的行數j相等時矩陣才能線程，起結果爲 A x ~m,n~ * B~n,k~ = C~m,k~

  1. A x B = |{1a + 3b,2a + 4b},{1c + 3d, 2c+4d}|

• ==注意==：當矩陣A的列數等於矩陣B的行數時，A與B可以相乘。\
     1.矩陣C的行數等於矩陣A的行數，C的列數等於B的列數。\
     2.乘積C的第m行第n列的元素等於矩陣A的第m行的元素與矩陣B的第n列對應元素乘積之和。

參考文獻

• 向量和矩陣的乘法
• 矩陣乘法