齊次座標系

問題：兩條平行線可以相交於一點

在歐氏空間（幾何），同一平面的兩條平行線不能相交，或永遠不能相遇。這是我們都熟悉的常識。

然而，在透視空間裏面，兩條平行線可以相交，例如：在下圖中，火車軌道離我們的視線越遠，變得越窄。最後，兩條平行線相交於地平線處，即無窮遠處的一點。

歐氏空間（或笛卡爾空間）描述 2D / 3D 幾何非常適合，但是這種方法卻不適合處理透視空間的問題（實際上，歐氏幾何是透視幾何的一個子集合），2D 點的笛卡爾座標可以表示爲(x,y)$\left(x,y\right)$ 。

如果一個點在無窮遠處，這個點的座標將會是(∞,∞)$\left(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\right)$ ，在歐氏空間，這變得沒有意義。平行線在透視空間的無窮遠處交於一點，但是在歐氏空間卻不能。數學家發現了一種方法來解決這個問題。

---

方法：齊次座標

August Ferdinand Möbius 引入了齊次座標，使得在透視空間進行圖形和幾何計算成爲可能。齊次座標是一種使用N+1個數來代表N維座標的方法。

爲了構建 2D 齊次座標，我們可以在現有笛卡爾座標基礎上，加一個額外的變量 w$w$ 。因此，笛卡爾座標系內的點(X,Y)$\left(X,Y\right)$ 在齊次座標系裏面變成了 (x,y,z)$\left(x,y,z\right)$ ，並且有

{X=x/wY=y/w$$\{\begin{array}{l}X=x/w\\ Y=y/w\end{array}$$

比如，笛卡爾座標系下的點（1，2）的齊次座標可以表示爲（1，2，1）。如果點（1，2）移動到無限遠處，在笛卡爾座標下它變爲 (∞,∞)$\left(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\right)$ ，然後它的齊次座標表示爲（1，2，0），因爲 (1/0,2/0)≈(∞,∞)$\left(\text{1/0,2/}0\right)\approx \left(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\right)$ 。注意，我們可以不用 “ ∞$\mathrm{\infty }$ “ 來表示一個無窮遠處的點了。

---

爲什麼叫齊次座標？

如上所述，爲了將齊次座標 (x,y,z)$\left(x,y,z\right)$ 轉化爲笛卡爾座標(X,Y)$\left(X,Y\right)$ ，只需將 x$x$ 和 y$y$ 除以 w$w$ 即可：

(x,y,w)Homogeneous⇔(xw,yw)Cartesian$$\begin{array}{c}\left(x,y,w\right)\\ Homogeneous\end{array}\iff \begin{array}{c}\left(\frac{x}{w},\frac{y}{w}\right)\\ Cartesian\end{array}$$

轉化齊次座標到笛卡爾座標的過程中，我們有一個重要發現，請看下面的例子：

HomogeneousCartesian(1,2,3)⟹(13,23)(2,4,6)⟹(26,46)=(13,23)(4,8,12)⟹(412,812)=(13,23)⋮⋮(1a,2a,3a)⟹(1a3a,2a3a)=(13,23)$$\begin{gathered} \begin{array}{cc}Homogeneous& Cartesian\end{array} \\ \left(\text{1,2,}3\right)⟹\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) \\ \left(\text{2,4,}6\right)⟹\left(\frac{2}{6},\frac{4}{6}\right)=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) \\ \left(\text{4,8,}12\right)⟹\left(\frac{4}{12},\frac{8}{12}\right)=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) \\ ⋮⋮ \\ \left(1a,2a,3a\right)⟹\left(\frac{1a}{3a},\frac{2a}{3a}\right)=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) \end{gathered}$$

你會發現點 (1, 2, 3) , (2, 4, 6) 和 (4, 8, 12) 對應同一個歐氏空間點 (1/3, 2/3)。在歐氏空間中，任何標量乘積，如(1a, 2a, 3a) 對應同一個點 (1/3, 2/3) 。因此，這些點是“齊次的” （譯者注：含有“同類”的意思），因爲他們表示歐氏空間（或笛卡爾空間）裏面的同一個點。換句話說，齊次座標有尺度不變性。

---

證明：兩條直線可以相交

考慮歐氏空間中的線性方程組：

{Ax+By+C=0Ax+By+D=0$$\{\begin{array}{l}Ax+By+C=0\\ Ax+By+D=0\end{array}$$

我們知道如果C ≠ D，上述方程組無解。如果C=D，兩條直線爲同一條直線（重疊）。我們在透視空間重寫上述方程式，用齊次座標 x/w$x/w$ , y/w$y/w$ 代替x$x$ , y$y$ ,

{Axw+Byw+C=0Axw+Byw+D=0⟹{Ax+By+Cw=0Ax+By+Dw=0$$\{\begin{array}{l}A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+C=0\\ A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+D=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}Ax+By+Cw=0\\ Ax+By+Dw=0\end{array}$$

現在我們有一個解(x,y,0)$\left(x,y,0\right)$ ，因爲 (C−D)w=0$\left(C-D\right)w=0$ ，所以 w=0$w=0$ 。因此，兩條直線相交於(x,y,0)$\left(x,y,0\right)$ ，這個點在無窮遠處。

在諸如將 3D 場景投影到 2D 平面的過程中，齊次座標是一個非常有用和基礎的計算機圖形學概念。