最少攔截系統-動態規劃LIS

問題來源:hdu-1257
最少攔截系統

Problem Description
某國爲了防禦敵國的導彈襲擊,發展出一種導彈攔截系統.但是這種導彈攔截系統有一個缺陷:雖然它的第一發炮彈能夠到達任意的高度,但是以後每一發炮彈都不能超過前一發的高度.某天,雷達捕捉到敵國的導彈來襲.由於該系統還在試用階段,所以只有一套系統,因此有可能不能攔截所有的導彈.怎麼辦呢?多搞幾套系統唄!你說說倒蠻容易,成本呢?成本是個大問題啊.所以俺就到這裏來求救了,請幫助計算一下最少需要多少套攔截系統.
 
Input
輸入若干組數據.每組數據包括:導彈總個數(正整數),導彈依此飛來的高度(雷達給出的高度數據是不大於30000的正整數,用空格分隔)
 

Output
對應每組數據輸出攔截所有導彈最少要配備多少套這種導彈攔截系統.

Sample Input
8
389 207 155 300 299 170 158 65

Sample Output
2

源代碼:

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAX 100000
#define INF (1<<30)

int N , missle[MAX] , dp[MAX] , min[MAX];
//missle[i]存儲第i-1個導彈的高度
//dp[i]表示第i-1個導彈以前攔截的系統最小數
//min[i]表示攔截系統數i的情況下最小高度

int main( ){
    int i , j , max;
    while( ~scanf("%d",&N) ){
        for( i=0 ; i<N ; i++ )
            scanf("%d",&missle[i]);

        max = 1;    //最小系統數是1
        memset( dp , 0 , sizeof( dp ) );

        dp[0] = 1;    //第一個導彈攔截的數目是1
        min[1] = missle[0];    //第一個系統的最小攔截高度是第一個導彈的高度missle[0]

        for( i=1 ; i<N ; i++ ){    //對於每一個導彈
            for( j=0 ; j<i ; j++ )    //之前的每一個導彈
                if( missle[i]<=missle[j] && missle[i]<min[dp[j]] ){
                    //如果i導彈比j導彈高度低 && i導彈比j導彈所在系統的最低高度還低
                    min[dp[j]] = missle[i];    //該系統的最低高度更新爲此時的導彈高度
                    dp[i] = max;    //dp[i]爲之前導彈的最小值
                    break;
                }
            if( !dp[i] ){    //若dp值沒被更新
                dp[i] = ++max;    //新增加系統
                min[dp[i]] = missle[i];    //新增加的系統高度爲當前導彈高度
            }
        }

        printf("%d\n",dp[N-1]);    //最小系統數
    }

    return 0;
}

代碼分析:如果採用LIS(最長上升子序列,這題是最長下降子序列,思路一樣)的算法,時間複雜度很高,所以進行改進,dp[i]改爲i之前導彈的最小系統數,min[i]爲第i個系統的最小高度,這樣能減少時間的消耗.可能會有人問:當很多系統都可以容納當前待加入的導彈時,爲什麼不更新導彈高度最小的那個系統,這樣的話纔可能使得其他系統高度儘可能被拉低地最小.我之前也在想這個問題(AC了,不過感覺還是有bug),後來用100 20 100 10 8 20這組數據才明白,我這樣的算法使得min[]這個數組的數值是非遞減的.所以找到每一個滿足要求的系統,一定是最優的. 很多說不清楚的地方還請原諒我的知識庫,嘿嘿..