Floyd最短路徑算法
在圖論中經常會遇到這樣的問題，在一個有向圖裏，求出任意兩個節點之間的最短距離。我們在離散數學、數據結構課上都遇到過這個問題，在計算機網絡裏介紹網絡層的時候好像也遇到過這個問題，記不請了... 但是書本上一律採取的是Dijkstra算法，通過Dijkstra算法可以求出單源最短路徑，然後逐個節點利用Dijkstra算法就可以了。不過在這裏想換換口味，採取Robert Floyd提出的算法來解決這個問題。下面讓我們先把問題稍微的形式化一下：
如果有一個矩陣D=[d(ij)]，其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距離。若i與j之間無路可通，那麼d(ij)就是無窮大。又有d(ii)=0。編寫一個程序，通過這個距離矩陣D，把任意兩個城市之間的最短與其行徑的路徑找出來。
我們可以將問題分解，先找出最短的距離，然後在考慮如何找出對應的行進路線。如何找出最短路徑呢，這裏還是用到動態規劃的知識，對於任何一個城市而言，i到j的最短距離不外乎存在經過i與j之間的k和不經過k兩種可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的數目)，在檢查d(ij)與d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)與d(kj)分別是目前爲止所知道的i到k與k到j的最短距離，因此d(ik)+d(kj)就是i到j經過k的最短距離。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示從i出發經過k再到j的距離要比原來的i到j距離短，自然把i到j的d(ij)重寫爲d(ik)+d(kj)，每當一個k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距離。重複這一過程，最後當查完所有的k時，d(ij)裏面存放的就是i到j之間的最短距離了。所以我們就可以用三個for循環把問題搞定了，但是有一個問題需要注意，那就是for循環的嵌套的順序：我們可能隨手就會寫出這樣的程序，但是仔細考慮的話，會發現是有問題的。
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++)
for(int k=0; k<n; k++)
問題出在我們太早的把i-k-j的距離確定下來了，假設一旦找到了i-p-j最短的距離後，i到j就相當處理完了，以後不會在改變了，一旦以後有使i到j的更短的距離時也不能再去更新了，所以結果一定是不對的。所以應當象下面一樣來寫程序：
for(int k=0; k<n; k++)
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++)
這樣作的意義在於固定了k，把所有i到j而經過k的距離找出來，然後象開頭所提到的那樣進行比較和重寫，因爲k是在最外層的，所以會把所有的i到j都處理完後，纔會移動到下一個k，這樣就不會有問題了，看來多層循環的時候，我們一定要當心，否則很容易就弄錯了。
接下來就要看一看如何找出最短路徑所行經的城市了，這裏要用到另一個矩陣P，它的定義是這樣的：p(ij)的值如果爲p，就表示i到j的最短行經爲i->...->p->j，也就是說p是i到j的最短行徑中的j之前的最後一個城市。P矩陣的初值爲p(ij)=i。有了這個矩陣之後，要找最短路徑就輕而易舉了。對於i到j而言找出p(ij)，令爲p，就知道了路徑i->...->p->j；再去找p(ip)，如果值爲q，i到p的最短路徑爲i->...->q->p；再去找p(iq)，如果值爲r，i到q的最短路徑爲i->...->r->q；所以一再反覆，到了某個p(it)的值爲i時，就表示i到t的最短路徑爲i->t，就會的到答案了，i到j的最短行徑爲i->t->...->q->p->j。因爲上述的算法是從終點到起點的順序找出來的，所以輸出的時候要把它倒過來。
但是，如何動態的回填P矩陣的值呢？回想一下，當d(ij)>d(ik)+d(kj)時，就要讓i到j的最短路徑改爲走i->...->k->...->j這一條路，但是d(kj)的值是已知的，換句話說，就是k->...->j這條路是已知的，所以k->...->j這條路上j的上一個城市(即p(kj))也是已知的，當然，因爲要改走i->...->k->...->j這一條路，j的上一個城市正好是p(kj)。所以一旦發現d(ij)>d(ik)+d(kj)，就把p(kj)存入p(ij)。
下面是具體的C代碼：