帕塞瓦爾定理(能量守恆定理)

P帕塞瓦爾定理指出，一個信號所含有的能量（功率）恆等於此信號在完備正交函數集中各分量能量（功率）之和。它表明信號在時域的總能量等於信號在頻域的總能量，即信號經傅里葉變換後其總能量保持不變，符合能量守恆定律。







Plancherel's theorem編輯

假定A(x)和B(x）都是平方可積的（參照勒貝格測度）複變函數，且定義在R上週期爲2π的區間上，分別寫成傅里葉級數的形式：

則有：

物理學和工程學上使用的記號

在 物理學 和 工程學 中, 帕塞瓦爾定理通常描述如下:

其中 爲 x(t) 的連續傅立葉變換（以歸一化酉形式），而f代表x的頻率分量（非角頻率）

帕塞瓦爾定理的此表達形式解釋了波形x(t)依時間域t累積的總能量與該波形的傅立葉變換X(f)在頻域域f累積的總能量相等。

對於離散時間信號，該理論表達式變換爲：

其中，X爲x的離散時間傅立葉變換(DTFT)，而Φ爲x的角頻率（度每樣本）。

此外，對於離散傅立葉變換 (DFT)，表達式變換爲：

其中，X[k]爲x[n]的DFT變換，變換前後樣本長度皆爲N。