現在只是在應用，所以沒有必要在數學上去證明
1. PID只是一個控制理論，沒有多麼神奇的（在心理上先藐視他）
2.一些約定：{
Kp比例係數
Ki:積分系數；
Kd:微分系數；O:輸出
X:現在的溫度**
E:誤差 E=80-X;
}
假設我現在想要實現恆溫的加熱器，設定一個溫度是80℃；背景就是這樣，那麼聰明的Mr.Ding接到這任務，發現現在室溫是24℃，於是他打開加熱器的開關，開始加熱，只要沒有到80℃，就一直加熱（加熱功率恆定），很快就到了80℃，而且馬上就超過了80℃，這是Mr.Ding就把加熱器關了，很快溫度就下降了，而且還小於了80℃，這樣來回了300回合，聰（S）明（B）的Mr.Ding受不了了，於是就去問他的師傅Mr.Mr.Ding。還是師傅聰明啊，先給Mr.Ding一頓揍，然後說這麼簡單的問題還還有臉來問，你用一個可調功率的加熱器，當溫度接近80℃的時候就把功率調小就好了。
也就是：O=Kp*(E)=Kp*(80-X);
Mr.Ding發現還真是好使啊，他拿了一個溫度計測量實時的溫度，現在室溫是24℃；他打開加熱器功率 O=Kp*(80-X)；當溫度接近目標溫度80℃的時候，輸出功率就非常小了，可是在時間的過程中他發現始終溫度徘徊在接近80的附近而到達不了80度，愛思考的他發現
O=Kp*（80-X）
X與O是正相關的，假設X=1*O
於是： O=Kp*(80-O)；
O=【Kp/(1+Kp)】*80；
當Kp→∞ O纔會等於80；就是X纔會等於80 ，But 這是工科，是工程沒有數學系那些個矯情的理想情況，所以也就是說用Kp乘以E永遠無 法準確的到達目標，（Btw 這就是所謂的穩態誤差）；所以說Mr.Mr.Ding也是會出錯的，馬克思說得好實踐纔是檢驗真理的唯一標準 ，老鳥也會出錯，不要看他們裝逼覺得很屌，不要迷信他們
那麼遇到這個穩態誤差該怎麼辦呢？
聰明的Mr.Ding想有一個誤差，那我要是把他積分一下，然後反饋到輸出，那麼隨着時間的增長就會導致最終等於目標值
O=Kp*(E)+Ki*( ∫E dt)
即：O=Kp*(80-X)+Ki*[∫(80-X) dt]
這樣就消除了穩態誤差，但是CPU中無法積分，那麼就用和來代替
O=Kp*(E)+Ki*(ΣE)
Mr.Ding趕快把這個理論用於實踐，現在可以很快的調節到80℃，但是調節的過程中一開始那個過調的毛病又出現了，這可怎麼辦呢？
Mr.Ding認爲出現這種問題主要是對誤差的反應太慢 ；之前的比例和積分都是對誤差產生了，然後做出調節，如果有一個工具能夠預測撿來的誤差，提前調節，那麼早一步做準備，這樣就可以彌補一下反應太慢的缺點。數學不錯的Mr.Ding很快找到了：微分 ；衆所周知微分反映的曲線變化的趨勢，所以選擇微分來提前預測誤差的變化是科學的
O=Kp*(E)+Ki*( ∫E dt)+Kd*(dE/dt)
同樣計算機無法微分，那就拿後向差分來代替
於是Mr.Ding打開加熱器，隔一段固定的時間T就按照上面的公式計算一下下一次的功率（也是蠻拼的，不過我們有單片機這貨來代替）
終於從24℃到目標80℃的過程又快，又穩定
（圖片來自 http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=Introduction§ion=ControlPID）
爲了搞懂PID，也是拼了Mr.Ding一晚上的時間。上面那個鏈接裏的PID介紹完爆了國內各大論壇關於PID的講解