相機透視知識整理

相機實現了3維世界至2維平面的映射，理順其中的關係方便實現一些有趣的應用。
這其中涉及道三個座標系的變換關係： 世界座標系—相機座標系—-圖像座標系

1、相機座標系–圖像座標系

1.1 世界座標系與相機座標系

兩座標系的變換可用齊次矩陣表示如下：

其中，R 爲3x3單位正交矩陣

1.2 R矩陣

• 上述3個基本變換矩陣均爲單位矩陣，因此求逆即求轉制
  R−1=RT

如果兩座標系同原點，，t 爲平移向量，即t=0 ,則可表示爲：

⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥=R⎡⎣⎢XwYwZw⎤⎦⎥

1.2 圖像座標系

圖像座標系可以表示爲u-v座標系，該座標系單位爲像素，無量綱。
爲了便於分析，常常建立以X-Y表示的圖像座標系，它以毫米爲單位。它的原點O1 在U-V座標系中的座標爲（u0,v0） 。每一個像素在X軸和Y軸上的物理尺寸分別爲dX,dY ,則兩座標系的變化關係爲：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪u=XdX+u0v=YdY+u0

u0,v0 默認在圖像中心點，因爲工藝會有偏差。齊次座標的矩陣表示形式如下：

公式1

1.3 相機座標系

如上圖根據小孔成像原理，在相機座標系x−o−y 中的任意一點P(x,y,z) 在圖像座標X−O1−Y 下的成像點爲p(X,Y) ,相機焦距設爲f .根據比例準則：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪X=fxzY=fyz

改寫爲齊次座標表示的形式：

其中，S爲尺度因子，與縱向距離Z有關，P爲透視矩陣。

1.4 變換

根據以上公式聯立，可形成世界座標與像素圖像座標的最終變換關係：

αx=f/dX、αy=f/dY :歸一化焦距。
M1 稱爲內參矩陣，M2 爲外參矩陣。

當t=0 ，上述公式可簡化：

s⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢αx000αy0u0v01⎤⎦⎥R⎡⎣⎢XwYwZw⎤⎦⎥=M⎡⎣⎢XwYwZw⎤⎦⎥

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　公式2
M爲3x3矩陣，該矩陣可逆，當知道世界座標下的一點，可算出唯一的像素座標。但是，已知圖像上一點，無法確切知道空間上Z的座標，因爲，上述矩陣只能聯立兩個方程。

2 滅點及消失點

將公式２的結果展開：

通常情況下，可通過４世界和圖像之間點對，估算Ｍ矩陣值。
消失點只於變換矩陣Ｍ和平行直線簇的方向有關。

2 逆透視

座標定義如圖所示：

俯仰角pitch α ， 偏航角yaw β ，滾動roll is zero

根據如上圖座標定義方式推導兩者間的變換關係：XcYcZc→XwYwZw
利用座標軸連續旋轉的方式：

其中注意β 逆時針轉,角度爲正;α 順時針,取負.

展開可得：

sPw=Rx(−90)Ry(β)Rx(−α)⎡⎣⎢fu000fv0cucv0⎤⎦⎥−1⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=TgPi

其中，