PageRank算法詳解

PageRank算法詳解

• 主要內容
  
  • PageRank算法簡介
  • PageRank算法詳解
    
    • 基本PageRank模型
    • 終止點問題
    • 陷阱問題
    • 解決終止點問題和陷阱問題

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1、PageRank算法簡介
  PageRank，網頁排名，又稱網頁級別或佩奇排名，是一種根據網頁間相互超鏈接進行網頁排名的技術，以Google公司創辦人拉里·佩奇（Larry Page）之姓來命名。Google用它來體現網頁的相關性和重要性，在搜索引擎優化操作中是評估網頁優化的有效指標之一。Google的創始人拉里·佩奇和謝爾蓋·布林於1998年在斯坦福大學發明了這項技術。
  PageRank通過網絡浩瀚的超鏈接關係來確定一個頁面的等級。Google把從A頁面到B頁面的鏈接解釋爲A頁面給B頁面投票，Google根據投票來源（甚至來源的來源）和投票目標的等級來決定新的等級。簡單的說，一個高等級的頁面可以使其他低等級頁面的等級提升。

2、PageRank算法詳解
2.1 基本PageRank模型
  互聯網中的網頁可以看成是一個有向圖，其中網頁是結點，如果網頁A 有鏈接到網頁B ，則存在一條有向邊A→B ，下面是一個簡單的示例：

  這個例子中只有四個網頁，如果當前在A 網頁，那麼悠閒的上網者將會各以1/3 的概率跳轉到B、C、D ，這裏的3 表示A 有3 條出鏈，如果一個網頁有k 條出鏈，那麼跳轉任意一個出鏈上的概率是1/k ，同理D 到B、C 的概率各爲1/2 ，而B 到C 的概率爲0 。一般用轉移矩陣表示上網者的跳轉概率，如果用n 表示網頁的數目，則轉移矩陣M 是一個n×n 的方陣；如果網頁j 有k 個出鏈，那麼對每一個出鏈指向的網頁i ，有M[i][j]=1/k ，而其他網頁的M[i][j]=0 ；上面示例圖對應的轉移矩陣如下：

  初試時，假設上網者在每一個網頁的概率都是相等的，即1/n ，於是初試的概率分佈就是一個所有值都爲1/n 的n 維列向量V0 ，用M 乘以V0 ，就得到了第一步之後上網者的概率分佈向量V1 ，(n×n)×(n×1) 依然得到一個n×1 的矩陣。下面是V1 的計算過程：

  注意矩陣M 中M[i][j] 不爲0 表示用一個鏈接從j 指向i ，M 的第一行乘以V0 ，表示累加所有網頁到網頁A 的概率即得到9/24 。得到了V1 後，再用M 乘以V1 得到V2 ，一直下去，最終V 會收斂，即Vn=M×Vn−1 ，上面的圖示例，不斷的迭代，最終得到V=[3/9,2/9,2/9,2/9] ：

2.2 終止點問題
  上述上網者的行爲是一個馬爾科夫過程的實例，要滿足收斂性，需要具備一個條件：

• 圖是強連通的，即從任意網頁可以到達其他任意網頁

  互聯網上的網頁不滿足強連通的特性，因爲有一些網頁不指向任何網頁，如果按照上面的計算，上網者到達這樣的網頁後便走投無路、四顧茫然，導致前面累計得到的轉移概率被清零，這樣下去，最終的得到的概率分佈向量所有元素幾乎都爲0 。假設我們把上面圖中C 到A 的鏈接丟掉，C 變成了一個終止點，得到下面這個圖：

對應的轉移矩陣爲：

連續迭代下去，最終所有元素都爲0 ：

2.3 陷阱問題
  另外一個問題就是陷阱問題，即有些網頁不存在指向其他網頁的鏈接，但存在指向自己的鏈接。比如下面這個圖：

  上網者跑到C 網頁後，就像跳進了陷阱，陷入了漩渦，再也不能從C 中出來，將最終導致概率分佈值全部轉移到C 上來，這使得其他網頁的概率分佈值爲0 ，從而整個網頁排名就失去了意義。如果按照上面圖對應的轉移矩陣爲：

不斷的迭代下去，就變成了這樣：

2.4 解決終止點問題和陷阱問題
  上面過程，我們忽略了一個問題，那就是上網者是一個悠閒的上網者，而不是一個愚蠢的上網者，我們的上網者是聰明而悠閒，他悠閒，漫無目的，總是隨機的選擇網頁，他聰明在走到一個終結網頁或者一個陷阱網頁（比如兩個示例中的C ），不會傻傻的乾着急，他會在瀏覽器的地址隨機輸入一個地址，當然這個地址可能又是原來的網頁，但這裏給了他一個逃離的機會，讓他離開這萬丈深淵。模擬聰明而又悠閒的上網者，對算法進行改進，每一步，上網者可能都不想看當前網頁了，不看當前網頁也就不會點擊上面的連接，而上悄悄地在地址欄輸入另外一個地址，而在地址欄輸入而跳轉到各個網頁的概率是1/n 。假設上網者每一步查看當前網頁的概率爲α ，那麼他從瀏覽器地址欄跳轉的概率爲(1−α) ，於是原來的迭代公式轉化爲：

V′=αMV+(1−α)e

其中，e=[1/n,1/n,...,1/n] 。
  現在我們來計算前文2.3節中帶陷阱的網頁圖的概率分佈：

重複迭代下去，得到：