數據庫：關係代數

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有了數據庫，還要通過查詢來獲得數據。SQL是常用的查詢語言，但我想用更抽象的查詢語言來表達，從思路上去理解而忽略實現細節。下面將介紹關係代數。

數據庫實例

在介紹查詢語言之前，先定義一個數據庫實例：
Sailors(sid: integer, sname: string, rating: interger, age: real)
Boats(bid: integer, bname: string, color: string)
Reserves(sid: integer, bid: integer, day: date)

關係代數

選擇與投影

選擇和投影均可對單個關係進行操作。選擇行的操作符爲 σ$\sigma$ ，投影列的操作符爲 π$\pi$ ，兩種操作均可以添加檢索條件。

等級大於8的水手： σrating>8(Sailors)$\sigma {}_{rating>8}(Sailors)$
所有水手名字和等級：πsname,rating(Sailors)$\pi {}_{sname,rating}(Sailors)$

集合操作

每個關係都可以看作實例的集合，因此可以對兩個關係進行集合操作。集合操作包括交，並，差以及笛卡爾積，操作符分別爲 ⋂$\bigcap$ ，⋃$\bigcup$ ，−$-$ ，×$\times$ 。兩個關係進行集合操作的結果仍爲關係。

連接

連接操作包括條件連接、相等連接和自然連接，操作符爲 ⋈$\bowtie$ 。連接本質上是求笛卡爾積，條件連接是隻對符合條件的元組進行連接，相等連接是條件爲相等表達式的連接，自然連接是隻對存在同名字段的元組進行連接。

所有水手預訂的船隻：Sailors⋈Reserves⋈Boats$Sailors\bowtie Reserves\bowtie Boats$

除

除並不是基本操作，雖然可以用操作符 ∖$\setminus$ 表示，但實際上除是由其它操作定義的。考慮兩個關係實例 A$A$ 和 B$B$ ，A$A$ 有且僅有字段 x$x$ 和 y$y$ ，而 B$B$ 只有一個字段 y$y$ 。A∖B$A\setminus B$ 定義爲滿足如下條件的 x$x$ 的集合，對於 B$B$ 中每個元組 y$y$ ，在 A$A$ 中都有一個元組 <x,y>$<x,y>$ 與之對應。

A∖B$A\setminus B$ 定義爲：πx(A)−πx((πx(A)×B)−A)$\pi {}_x(A)-\pi {}_x((\pi {}_x(A)\times B)-A)$

參考資料

Raghu Ramakrishnan, Johannes Gehrke. Database Management Systems (Third Edition)[M]. 北京:清華大學出版社, 2003.