Burnside引理
神吶，st大神羣論之王。。。
以下內容僅爲本人淺顯的理解，如果有誤，還請指出
目錄
需要的姿勢
1.羣
給定一個集合G={a,b,c,⋯} ，和作用於G 中元素的二元運算，記爲∗ ，
若∗ 滿足
1. 封閉的，即∀a,b∈G,∃c∈G, 使a∗b==c ；
2. 可結合的，即∀a,b,c∈G, 有a∗b∗c==a∗(b∗c) ；
3. 有單位元，即∃e∈G, 使∀a∈G, 有a∗e==a ；
4. ∀a∈G,有唯一的b∈G, 使a∗b==e, 其中e 爲上文提到的單位元.
則稱G 在∗ 運算下是一個羣，記爲(G,∗) 。
2.置換羣
置換：集合{a1,a2,⋯,an} 中的元素對該集合中元素的一一映射爲一元置換。即集合中每個元素換到了集合的另一個位置eg.{1,2,3}→{2,3,1}
記爲：
σ=(a1σ(a1)a2σ(a2)a3σ(a3)⋯⋯anσ(an))
其中，對於G 的一些置換方式σi 作爲元素組成的集合就是一個G 的置換羣。
ps:有一種特殊的置換——單位置換，滿足∀ai∈G, 有σ(ai)==ai .置換“乘法”
個人感覺這個不能稱之爲乘法，只是一個羣的二元運算
設Sn 是G 的一個置換羣，σi,σj∈Sn ，定義它們的“乘積”爲x(σi∗σj)=(xσi)σj, 其中x∈G .
這裏σ 可以看作一個對x 操作的函數，只是寫法很神奇。
舉個栗子(ak 表示σ 操作的集合中第k 個元素,(→ak) 表示將該元素置換爲原集合第k 個元素)：
G={1,3,5}
σi={(→a2),(→a3),(→a1)}
σj={(→a1),(→a3),(→a2)}
設
x=G[2]=3 ，則：
x(σi∗σj)===xσi∗j{(→a2),(→a1),(→a3)}(x→G[1])1
(xσi)σj===(x→G[3])σj(5→G[1])1
全體置換運算∗ 構成的羣Sn ，稱爲n 次對稱羣，(Sn,∗) 的任意子羣稱爲置換羣。
所以，把σi 中對G 中每個元素的置換方式“看作”σi 的元素的話，σi∗σj 可以看作把σi 的元素按σj 的方式置換一下，得到的新的置換方式再去置換x ！
那麼顯然，這和先把x 按σi 置換再按σj 置換沒有區別。
3. 循環
置換
(aiajajakakai)
稱爲一個循環，記爲
(ai,aj,ak) ，一個涉及
m 個元素的循環稱爲
m 階循環。
循環是一種簡單但特殊的置換，它只與相鄰的元素有關，即每個元素被置換爲了集合中的下一個元素。
由於循環也是一種置換，所以若干循環的“乘積”，我們可以表示任意一個置換。
栗子：
(ahaiaiajajahakakalal)=(ai,aj,ah)(al,ak)
性質和定理：
- 如果兩個循環中沒有公共元素，則稱這兩個循環是
不相交的；
-
任何一個置換都可以表示稱若干個互不相交的循環的乘積，且表示方法是唯一的。
Burnside引理
OI計數問題中，有一種類型是給出一些置換方式，問本質不同的染色有多少種，而Burnside引理即是用於解決此類問題的！
穩定核
設n 階對稱羣Sn 的一個子羣爲G={g1,g2,⋯,gt} ，集合A 的第k 個元素A[k],k∈{k∈N+|k≤n} ，集合{g∈G|g(A[k])==A[k]} 稱爲k 的穩定核，或稱G 中使k 固定不變的置換羣，記爲Zk 。gi,i∈[1,t] 中不變元（置換gi 下使原集合固定不變的元素）個數記爲λ(gi) 。
(。・∀・)ノ栗子：
Sn==={(ai(→ai)aj(→aj)ak(→ak)),(ai(→ai)aj(→ak)ak(→aj)),(ai(→aj)aj(→ai)ak(→ak)),(ai(→aj)aj(→ak)ak(→ai)),(ai(→ak)aj(→ai)ak(→aj)),(ai(→ak)aj(→aj)ak(→ai))}{e,(aj,ak),(ai,aj),(ai,aj,ak),(ai,ak,aj),(ai,ak)}{g1,g2,g3,g4,g5,g6}
↑循環有省略部分（自己置換爲自己的）
則
Z1={e,(aj,ak)},Z2={e,(ai,ak)},Z3={e,(ai,aj)} ，
λ(g1)=3,λ(g2)=λ(g3)=λ(g6)=1,λ(g4)=λ(g5)=0 .
Burnside引理
若G⊆Sn,g∈G ，設λ(g) 爲置換g 中不變元的個數，則羣G 的等價類個數（即染色問題中本質不同的方案數）爲1|G|∑g∈Gλ(g).
證明
應用
[BZOJ1004]HNOI2008Cards
題解
參考資料
