給定一個羣 G ，m∈G ，則元素 m 的跡 G⋅m={am|a∈G} 。羣元素 m 的isotropy group 定義爲 Gm={a|am=m,a∈G} 。有如下定理：
定理：
元素 m 軌道集合 G⋅m 的元素個數與元素 m 的isotropy group Gm 的元素個數之積，等於羣 G 的元素個數。
|G⋅m|⋅|Gm|=|G|
證明：
我們將所有使得 hm=n 的 h∈G 構成的子羣記做Gmn ，對於任意一個 h∈Gmn ，我們可以通過定義映射ϕ:g→hg 建立一個從Gm 到Gmn 的映射ϕ:Gm→Gmn 。因爲每一個 g∈Gm 在 ϕ 的作用下都得到一個在 Gmn 中唯一的元素，即構成一個 Gmn 的子集，因此我們知道 |Gm|≤|Gmn| 。同理，對於任意一個 h∈Gmn ，我們可以通過定義映射ϕ:u→h−1u 建立一個從Gmn 到Gm 的映射ϕ:Gmn→Gm 。同理，我們也可以得到 |Gmn|≤|Gm| 。因此，我們得到 |Gmn|=|Gm| 。這個關係對於任意 n∈G⋅m 都成立。對於每一個 n ，G 中都有 |Gmn| 個唯一的元素將其從 m 變換到 n ，因此，G 中元素的個數就等於 n 的個數乘以 |Gmn| 。於是就有定理中的等式：
|G⋅m|⋅|Gm|=|G|■
