圖之表示和遍歷

學習筆記！！！！！

一、什麼是圖（Graphy）？

表示“多對多”的關係，包含一組頂點（V表示頂點集合）和一組邊（E表示邊的集合）。

邊是頂點對：(v,w)屬於E，其中v,w屬於V

有向邊<v,w>表示從v指向w的邊,不考慮重邊和自迴路。

圖的數據對象集：G(V,E)由一個非空的有限頂點集合v和一個有限邊集合E組成。注意，圖可以沒有邊，但至少會有一個頂點。（可以N個頂點，但沒有一條邊，這也是圖）（樹可以沒有任何節點--空樹）

二、使用鄰接矩陣表示圖

鄰接矩陣G[N][N]--N個頂點從0到N-1編號，G[i][j]=1,如果<vi,vj>是G的邊，否則爲0。但對於無向圖鄰接矩陣的存儲會浪費一半的空間，可以使用一個瘡毒爲N(N+1)/2的一位數據來存儲。

對於網絡，G[i][j]值爲兩點之間邊的權重。

度：從某點發出的邊數--出度，指向該點的邊數--入度。

無向圖：對應行或列非0元素個數；

有向圖：對應行非0元素個數爲出度，對應列非0元素個數爲入度。

無向完全圖：對於n個頂點的無向圖，若有2(n-1)/2條邊，則爲無向完全圖。

三、使用鄰接表表示圖

鄰接表：G[N]爲指針數組，對應矩陣每行一個鏈表，只存非0元素。某頂點指針依次指向所有其相連的節點。

需要空間：需要N個頭指針+2E個結點（每個結點至少2個域）

注意：鄰接表若邊數E<N(N-1)/4時是節省空間的，但大於時，節省效果反而不好。也就是說鄰接表適合夠稀疏的圖。

鄰接表方便計算無向圖頂點的度和有向圖頂點的出度，二入度的計算需要構造“逆鄰接表”。

鄰接表不易檢查任意一對頂點間是否存在邊。

用鄰接表表示有個頂點、條邊的圖，則遍歷圖中所有邊的時間複雜度爲——O(N+E)

四、圖的遍歷

深度優先搜索（DFS）：類似樹的先序遍歷

DFS 在訪問圖中某一起始頂點 v 後，由 v 出發，訪問它的任一鄰接頂點 w1；再從 w1 出發，訪問與 w1鄰 接但還沒有訪問過的頂點 w2；然後再從 w2 出發，進行類似的訪問，… 如此進行下去，直至到達所有的鄰接頂點都被訪問過的頂點 u 爲止。接着，退回一步，退到前一次剛訪問過的頂點，看是否還有其它沒有被訪問的鄰接頂點。如果有，則訪問此頂點，之後再從此頂點出發，進行與前述類似的訪問；如果沒有，就再退回一步進行搜索。重複上述過程，直到連通圖中所有頂點都被訪問過爲止。    

DFS時間複雜度：

用鄰接圖：O(N+E)；用鄰接矩陣：O(N*N)

廣度優先搜索（BFS）：類似於樹的層序遍歷，程序中藉助隊列。

從圖中的某個頂點V出發，訪問之，並將其訪問標誌置爲已被訪問，即visited[i]=1；依次訪問頂點V的各個未被訪問過的鄰接 點，將V的全部鄰接點都訪問到；分別從這些鄰接點出發，依次訪問它們的未被訪問過的鄰接點，並使“先被訪問的頂 點的鄰接點”先於“後被訪問的頂點的鄰接點”被訪問，直到圖中所有已被訪問過的頂 點的鄰接點都被訪問到。依此類推，直到圖中所有頂點都被訪問完爲止 。

BFS時間複雜度：

用鄰接圖：O(N+E)；用鄰接矩陣：O(N*N)

BFS:對於解決最短或最少問題特別有效，而且尋找深度小，但缺點是內存耗費量大（需要開大量的數組單元用來存儲狀態）。

DFS：對於解決遍歷和求所有問題有效，對於問題搜索深度小的時候處理速度迅速，然而在深度很大的情況下效率不高

頂

連通：如果從V到W存在一條（無向）路徑，則稱V和W是連通的
路徑：V到W的路徑是一系列頂點{V, v1, v2, …,vn , W}的集合，其中任一對相鄰的頂點間都有圖中的邊。

路徑的長度是路徑中的邊數（如果帶權，則是所有邊的權重和）。

如果V到W之間的所有頂點都不同，則稱簡單路徑.

 迴路：起點等於終點的路徑

連通圖：圖中任意兩頂點均連通（圖中任意兩個節點，都能找到路徑，一個節點的圖也是連通圖，其連通分量有1個）

連通分量：無向圖的極大連通子圖（該子圖是連通的，並且再加一個節點後，該子圖就不連通了）
該連通分量的極大頂點數：再加1個頂點就不連通了
該連通分量的極大邊數：包含子圖中所有頂點相連的所有邊

強連通：有向圖中頂點V和W之間存在雙向路徑，則稱V和W是強連通的（v到w有路徑，同事w到v也能找到路徑）
強連通圖：有向圖中任意兩頂點均強連通
強連通分量：有向圖的極大強連通子圖

具有N（>0）個頂點的無向圖至少有1個連通分量。（一個節點的圖有1個連通分量）

具有N（>0）個頂點的無向圖最多有N個連通分量。（該圖只有N個頂點，任意頂點間無邊）

樹是最小的連通圖，少一條邊便不連通