2的補碼

此文是基於阮一峯大神的文章-關於2的補碼的學習總結，便於加深印象和回顧，若想看原文，請走剛纔的傳送門~

負數在計算機中如何表示呢？

在計算機內部採用2的補碼（Two’s Complement）表示負數。

什麼是2的補碼？

它是一種數值的轉換方法，要分二步完成：

• 第一步，每一個二進制位都取反值，0變成1，1變成0。比如：00001000取反爲11110111；

• 第二步，將上一步的得到的值+1。即：

  11110111 + 1 = 11111000；

所以，11111000爲00001000的補碼，也就是說-8在計算機中用11111000表示；

爲什麼要用補碼來表示負數呢？

對於計算機，加減乘除是最基本的運算，要儘量設計的很簡單；

• 運算法則減去一個數等於是加上這個數的負數；
• 計算機的基礎電路只有加法，使得設計更加簡單；

由於對於二進制的編碼有三種方式：原碼、反碼和補碼；

• 使用原碼進行正數 + 負數的類減法所得的結果並不正確；
• 使用反碼進行計算時，結果的真值部分是正確的，但是會有一個特殊的值：0。由於0是具有符號位是沒有任何意義的，並且會有1000 0000和0000 0000兩個編碼表示0；
• 使用補碼進行計算可以完美解決真值、符號位和0的問題，同時由於(-1) - (-127) = -128，補碼會以1000 0000表示 -128，即還能夠表示一個最低數。
• 原碼和反碼錶示的範圍爲[ -127, 127 ]，而補碼可以表示[ -128, 127 ]；

2的補碼的本質：

負數可以換成是 0 - 正數 得到的，因此 對於 -8 可以看做是 0 - (+8) 得到的；
那麼對於二進制的來說即如下形式：

           0 0 0 0 0 0 0 0
        -  0 0 0 0 1 0 0 0
    -------------------------- 
           1 1 1 1 1 0 0 0

因爲 被減數 0000 0000 小於減數 0000 1000，因此需要向上一位借1，因此實質上被減數是1 0000 0000；

          1 0 0 0 0 0 0 0 0
       -    0 0 0 0 1 0 0 0
    -------------------------- 
            1 1 1 1 1 0 0 0

進一步觀察可以發現，1 0000 0000 是由 1111 1111 + 0000 0001 所得，因此：

            1 1 1 1 1 1 1 1
       -    0 0 0 0 1 0 0 0
    -------------------------- 
            1 1 1 1 0 1 1 1
       +    0 0 0 0 0 0 0 1
    --------------------------            
            1 1 1 1 1 0 0 0

2的補碼的轉換步驟就是這麼來的；

爲什麼正數加法適用於2的補碼？

事實上，我們要證明的是X - Y或X + (-Y)可以用X + Y的2的補碼完成；
根據上面的所說的，Y的2的補碼可以用1111 1111 - Y + 1來表示；
即：X + (-Y) => X + ( 1111 1111 - Y + 1 ) = Z；

基於以上算式，分爲 兩種 情況討論：

• 第一種，X < Y，Z 應該爲負數，那麼對 Z 採用2的補碼的逆運算求出正數值然後在加一個負號即可得到

    Z = -[ 1111 1111 - ( Z - 1 ) ] 
    Z = -[ 1111 1111 - ( X + ( 1111 1111 - Y + 1 ) )  + 1 ] = X - Y;

• 第二種，X > Y，那麼 Z 肯定大於 1111 1111，但是我們假定這是8位機，最高位第9位溢出被捨棄，相當於減去1 0000 0000，因此：

    Z = Z - 1 0000 0000 = X + ( 1111 1111 - Y + 1 ) - 1 0000 0000 = X - Y

另外，還有一種方法證明：

Z = X - Y = X + 1111 1111 - Y + 1 = X - Y + 1 0000 0000，

由於是8位機，是不可能出現第9位的（被捨去），即

Z = X - Y + 0000 0000 = X - Y；