快速傅里葉算法實現 學習筆記

      一、基礎知識

    考研階段學習過傅里葉級數，而最近的項目正好是用C語言編寫傅里葉變換，於是很認真的複習了傅里葉級數。可是無奈，看來看去反而暈暈乎乎的。後經師兄師姐的指教，才得知對於工程中的信號處理，研究週期性的傅里葉變換都沒有現實意義，而傅里葉級數更沒有什麼關係。
       工程中待處理的信號，通常具有非週期性，故我們需要對離散傅里葉變換進行研究。離散公式：

【x(n)是採樣的時域信號，X(k)是對於不同頻率k的頻域信號。】

       而快速傅里葉變換又是對離散傅里葉變換的改進，通過蝶形運算（網上的圖片如下），計算速度可大大提升，使計算量呈指數型下降。

一、最左的x(n)是採樣的時域信號，最右的X(k)是算出的頻域信號。可以看到左邊的x(n)中，n 的序列並非正常的遞增，這是爲了使得輸出的X(k)中的k頻率呈遞增序列。

二、[n]的序列是通過將十進制n轉化成的二進制數字後，倒序排列生成的，如4的二進制碼爲100，倒序爲001，故排在第二位。

三、在上圖中，共8個信號，可分成3級。第一級，每個分組兩個節點，一個蝶形單元。第二級，每個分組四個節點，兩個蝶形單元。第三級，每個分組八個節點，四個蝶形單元。

二、算法語言實現

下面是一段HTML快速傅里葉核心代碼，和C語言差不多：

<span style="font-size:12px;">

void fft(complex f[], int N)
{
	complex t, wn;//中間變量
	int i, j, k, la, lb, lc, l, r, m, n;//中間變量
	//M:分解運算級數
	int M;
	/*----計算分解的級數M=nextpow2(N)----*/
	for (i = N, M = 1; (i = i / 2) != 1; M++);
	/*----輸入信號二進制碼位倒序*/
	for (i = 1, j = N / 2; i <= N - 2; i++)
	{
		if (i<j)
		{
			t = f[j];
			f[j] = f[i];
			f[i] = t;
		}
		k = N / 2;
		while (k <= j)
		{
			j = j - k;
			k = k / 2;
		}
		j = j + k;
	}
	/*----FFT算法----*/
	for (m = 1; m <= M; m++)
	{
		la = pow(2.0, m); //la=2^m代表第m級每個分組所含節點數       
		lb = la / 2;    //lb代表第m級每個分組所含碟形單元數  
		//同時它也表示每個碟形單元上下節點之間的距離  
		/*----碟形運算----*/
		for (l = 1; l <= lb; l++)
		{
			r = (l - 1)*pow(double(2), M - m);
			for (n = l - 1; n<N - 1; n = n + la) //遍歷每個分組，分組總數爲N/la  
			{
				lc = n + lb;  //n,lc分別代表一個碟形單元的上、下節點編號       
				Wn_i(N, r, &wn, 1);//wn=Wnr  
				c_mul(f[lc], wn, &t);//t = f[lc] * wn複數運算  
				c_sub(f[n], t, &(f[lc]));//f[lc] = f[n] - f[lc] * Wnr  
				c_plus(f[n], t, &(f[n]));//f[n] = f[n] + f[lc] * Wnr  
			}
		}
	}
}
</span>