快速冪取模算法
在網站上一直沒有找到有關於快速冪算法的一個詳細的描述和解釋，這裏，我給出快速冪算法的完整解釋，用的是C語言，不同語言的讀者只好換個位啦，畢竟讀C的人較多~
所謂的快速冪，實際上是快速冪取模的縮寫，簡單的說，就是快速的求一個冪式的模(餘)。在程序設計過程中，經常要去求一些大數對於某個數的餘數，爲了得到更快、計算範圍更大的算法，產生了快速冪取模算法。[有讀者反映在講快速冪部分時有點含糊，所以在這裏對本文進行了修改，作了更詳細的補充，爭取讓更多的讀者一目瞭然]
我們先從簡單的例子入手：求= 幾。
算法1.首先直接地來設計這個算法：
int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
這個算法的時間複雜度體現在for循環中，爲O（b）.這個算法存在着明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會溢出。
那麼，我們先來看看第一個改進方案：在講這個方案之前，要先有這樣一個公式：
.這個公式大家在離散數學或者數論當中應該學過，不過這裏爲了方便大家的閱讀，還是給出證明：
引理1：
上面公式爲下面公式的引理，即積的取餘等於取餘的積的取餘。
證明了以上的公式以後，我們可以先讓a關於c取餘，這樣可以大大減少a的大小，
於是不用思考的進行了改進：
算法2：
int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
聰明的讀者應該可以想到，既然某個因子取餘之後相乘再取餘保持餘數不變，那麼新算得的ans也可以進行取餘，所以得到比較良好的改進版本。
算法3：
int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = (ans * a) % c;//這裏再取了一次餘
}
ans = ans % c;
這個算法在時間複雜度上沒有改進，仍爲O(b)，不過已經好很多的，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的快速冪算法。
快速冪算法依賴於以下明顯的公式，我就不證明了。
有了上述兩個公式後，我們可以得出以下的結論：
1.如果b是偶數，我們可以記k = a2 mod c，那麼求(k)b/2 mod c就可以了。
2.如果b是奇數，我們也可以記k = a2 mod c，那麼求
((k)b/2 mod c × a ) mod c =((k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。
那麼我們可以得到以下算法：
算法4：
int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans * a) mod c; //如果是奇數，要多求一步，可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我們取a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
{
ans = (ans * k) % c;
}
ans = ans % c;
我們可以看到，我們把時間複雜度變成了O(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a) mod c時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即爲(k)b/2 mod c而不是原來的ab mod c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對於奇數的情形會多出一項a mod c，所以爲了完成迭代，當b是奇數時，我們通過
ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩餘的部分就可以進行迭代了。
形如上式的迭代下去後，當b=0時，所有的因子都已經相乘，算法結束。於是便可以在O（log b）的時間內完成了。於是，有了最終的算法：快速冪算法。
算法5：快速冪算法
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 == 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
將上述的代碼結構化，也就是寫成函數：
int PowerMod(int a, int b, int c)
{
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 = = 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
return ans;
}
本算法的時間複雜度爲O（logb），能在幾乎所有的程序設計（競賽）過程中通過，是目前最常用的算法之一。
以下內容僅供參考：
擴展：有關於快速冪的算法的推導，還可以從另一個角度來想。
=？ 求解這個問題，我們也可以從進制轉換來考慮：
將10進制的b轉化成2進制的表達式：
那麼，實際上，.
所以
注意此處的要麼爲0，要麼爲1，如果某一項，那麼這一項就是1，這個對應了上面算法過程中b是偶數的情況，爲1對應了b是奇數的情況[不要搞反了，讀者自己好好分析，可以聯繫10進制轉2進制的方法]，我們從依次乘到。對於每一項的計算，計算後一項的結果時用前一項的結果的平方取餘。對於要求的結果而言，爲時ans不用把它乘起來，[因爲這一項值爲1]，爲1項時要乘以此項再取餘。這個算法和上面的算法在本質上是一樣的，讀者可以自行分析，這裏我說不多說了，希望本文有助於讀者掌握快速冪算法的知識點，當然，要真正的掌握，不多練習是不行的。
By 夜せ︱深