給定一個m行n列的矩陣，矩陣每個元素是一個正整數，你現在在左上角（第一行第一列），你需要走到右下角（第m行，第n列），每次只能朝右或者下走到相鄰的位置，不能走出矩陣。走過的數的總和作爲你的得分，求最大的得分。
初看此題，你的思路是什麼？
（1） 貪心？ 先走到大的數再說？看這個例子：
無論你以什麼方式走到3，總和都是1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9
我們爲了1個3，放棄了那麼多個2， 不值啊。如果我們放棄3而走那些2， 得到的和是1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 10
看來貪心是錯的！ 因爲我們走到最大值時有很多值不能走到了，一個最大值會把我們帶溝裏去。
（2） 枚舉？枚舉是萬能的嘛。
可以試試，有多少條可能的路徑？
你需要往下走(m – 1)次，往右走(n – 1)次，才能走到右下角，一共走m + n – 2步！可行路徑的總條數有C(m + n – 2, m - 1)。
每條路徑長度是m + n – 1 ，所以總的時間複雜度是O(C(m + n – 2, m – 1) * (m + n – 1))， 試試看m = n = 100時，這個數有多大吧！
C（198,99）=22750883079422934966181954039568885395604168260154104734000
沒辦法了麼？
想想看，問題有什麼性質？
我們只能往右邊或者下邊走，意味着“不走回頭路”,就是說矩陣裏面每個位置最多隻會經過一次。其實很多地方是“沒有機會”經過的。比如我現在在第x行第y列，不管之前走的路徑是什麼樣子，則它左邊和上邊的位置都是不可能再走到的，對嗎？也就是說，我現在在矩陣第x行第y列，並假設以它爲原點把矩陣分成四個“象限”，只有第四象限的位置纔有可能從這以後經過 （當然還包括橫軸的正半軸）！
假設我們從起點走到終點的過程中經過第x行第y列某個位置，爲了從起點到終點得到的和最大，那麼從起點到第x行第 y列這個位置經過的數的和也一定要最大。這幾乎是顯然的，但是你要刨根問底的話，可能要問爲什麼會這樣呢？
我們定義集合A是從起點到第x行第y列的全部路徑集合，定義集合B是從第x行第y列到終點的全部路徑集合。那麼起點到終點的路徑實際上是子路徑a∈A和子路徑b∈B的連接（注意刪掉第x行第y列這個點，否則走了兩次了，呵呵)。
即所有經過第x行第y列的路徑都可以劃分到A和B這兩個集合裏，而且任何a∈A和子路徑b∈B都可以拼接出一條經過第x行第y列的路徑。
那麼我要選擇一條經過x,y的能得到最大值的路徑，顯然要選擇A集合里路徑和最大的a,（其實還要選B集合裏和路徑和最大的b）。
說了這麼多，其實就是想明確一個事：從起點到終點的最優路徑上經過了(m + n – 1)個點，則這條路徑上對應起點到這(m + n – 1)個點的子路徑也都從起點到該位置的所有路徑中和最大的路徑。
那麼假設我們定義f(int x,int y)表示從起點到第x行第y列的最優路徑上的數之和，並假設這個矩陣是個二維數組A[][] (下標從1開始)
我們考慮一下，我們如何才能到(x,y)?前一步要麼到(x – 1, y)， 要麼到(x, y – 1)，因爲有且只有這兩個位置能到(x,y)，那麼怎樣才能得到f(x,y)?按我們前面說的，如果從起點達到(x,y)的最優路徑要經過(x – 1,y)或者(x,y – 1)，則從起點到達(x – 1,y)或者(x,y – 1)的路徑一定也必須是最優的。
那麼按照我們對f的定義，我們有從起點達到x,y的最優路徑有兩種可能：
要麼f(x – 1, y) ＋ A[x][y]
要麼f(x, y – 1) + A[x][y]
我們要取最優，那自然取較大的
因此有f(x, y) = max(f(x – 1, y) , f(x, y – 1) ) + A[x][y]
這樣原來要枚舉指數條路徑，現在對於每個位置只有兩種情況啦。
有了遞推關係還不夠，有初值才能求解。
那我們看一下 f(1,1)，顯然這是在起點，沒的選f(1,1) = A[1][1]。
那麼按照遞推式 f(1,2) = max(f(0, y) , f(1,1)) + A[1][2]， 但是我們對f(0, y)沒有定義呀！考慮下實際意義，這表示要麼我們從上面到達(1,2)要麼從左面到達(1,2)，可是上面沒有位置過來啊，這種說明沒的選。所以我們可以定義f(0, y) = -∞, 同理我們也可以定義f(x, 0) = -∞。
那麼總結一下我們的遞推式
分析一下這個算法的時間複雜度？ 顯然是O(m * n)，空間複雜度也一樣，因爲我們打出了一張(m + 1) * (n + 1)的表格——因此空間也是O(m * n)的。
再走一步？
我們找到了最大的和，如何得到和最大的路徑呢？ 還是從遞推式入手，我們發現如果f(x,y) = f(x – 1,y) + A[x][y] 則它是從上面過來的，所以前一個位置是(x – 1, y)
否則 f(x, y) = f(x, y – 1) + A[x][y]則它是從左面過來的，所以前一個位置是(x, y- 1)。
這看起來最優路徑被唯一確定了？ 不是的，事實上當f(x – 1,y) ＝ f(x, y – 1)時，前一個位置在上面或者左面都可以——所以路徑還是很多很多的！
通過這個例子，你是不是對動態規劃有了更深刻的理解呢？
最後，由你來寫一段程序，實現這個算法。
輸入
第1行：N，N爲矩陣的大小。(2 <= N <= 500)
第2 - N + 1行：每行N個數，中間用空格隔開，對應格子中獎勵的價值。（1 <= N[i] <= 10000)
輸出
輸出能夠獲得的最大價值。
輸入示例
3
1 3 3
2 1 3
2 2 1
輸出示例
11
自己嘗試着寫寫再看參考代碼哦