概率圖模型（PGM）裏的有向分離（D-separation）

有向分離（Directed Separation）是圖論中的概念，在PGM中也有着重要的作用。

D-separation和前一篇博文PGM中的條件獨立（Conditional Independent）有很大的聯繫。

回顧：

1. 順連結構：x—>z—>y，x和y關於z條件獨立。
2. 分連結構：x<—z—>y，x和y關於Z條件獨立。
3. 匯連結構：x—>z<—y，x和y邊緣獨立。若已知結果z反而可能不獨立。

相關概念：

阻塞（Block）：

設X，Y，Z分別是一個有向無環圖（Directed Acyclic Graph）G裏互沒有交集的節點集（set），Z阻塞X中的任一個節點到Y中的任一個節點的通路（Z blocks every paths from a node in X to a node in Y），當且僅當節點集Z滿足如下條件：

1. 如果G中有順連結構x—>z—>y或分連結構x<—z—>y，則節點z包含在集合Z中；
2. 如果G中有匯連結構x—>z<—y，則節點z及其後裔節點（descendants）一定不包含在集合Z中。

有向分離（D-separation）：

如果集合Z阻塞X到Y中的任何一條通路（path），則稱在這個DAG裏，集合Z有向分離X和Y。也稱Z 爲X和Y的切割集。

如果一個路徑不是有向分離的，則稱其爲有向連接的（D-connected）。

總結：

整體markov性：

前面一篇在條件獨立的基礎上介紹了局部markov性。和局部markov性一樣，整體markov性也和條件獨立有關，正如字面含義一樣，從整個DAG來講它比局部markov性更廣泛地概括了獨立的概念，具體如下：

設X和Y是DAG中的兩個節點變量集，Z是G中不包含X和Y的節點集合，如果Z有向分離（D-separate）X和Y，則X和Y在給定Z時條件獨立，。否則，稱在給定集合Z下集合X和Y依賴。

條件獨立是概率論中的概念，有向分離是圖論中的概念，局部markov性和整體markov性將兩個概念融爲一體，揭示了圖論和概率論之間的聯繫。