網絡流24題——最小路徑覆蓋問題

題目鏈接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2764

【問題分析】

有向無環圖最小路徑覆蓋，可以轉化成二分圖最大匹配問題，從而用最大流解決。

【建模方法】

構造二分圖，把原圖每個頂點i拆分成二分圖X，Y集合中的兩個頂點Xi和Yi。對於原圖中存在的每條邊(i,j)，在二分圖中連接邊(Xi,Yj)。然後把二分圖最大匹配模型轉化爲網絡流模型，求網絡最大流。

最小路徑覆蓋的條數，就是原圖頂點數，減去二分圖最大匹配數。沿着匹配邊查找，就是一個路徑上的點，輸出所有路徑即可。

【建模分析】

對於一個路徑覆蓋，有如下性質：

1、每個頂點屬於且只屬於一個路徑。
2、路徑上除終點外，從每個頂點出發只有一條邊指向路徑上的另一頂點。

所以我們可以把每個頂點理解成兩個頂點，一個是出發，一個是目標，建立二分圖模型。該二分圖的任何一個匹配方案，都對應了一個路徑覆蓋方案。如果匹配數爲0，那麼顯然路徑數=頂點數。每增加一條匹配邊，那麼路徑覆蓋數就減少一個，所以路徑數=頂點數 - 匹配數。要想使路徑數最少，則應最大化匹配數，所以要求二分圖的最大匹配。

注意，此建模方法求最小路徑覆蓋僅適用於有向無環圖，如果有環或是無向圖，那麼有可能求出的一些環覆蓋，而不是路徑覆蓋。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1000;
const int MAXM = 50000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge1
{
	int from,to,cap,flow;
};
struct Dinic
{
	int n,m,s,t;
	vector<Edge1> edges;
	vector<int> G[MAXN];
	bool vis[MAXN];
	int d[MAXN];
	int cur[MAXN];
	void init(int n)
	{
		this -> n = n;
		for(int i = 0; i <= n + 1; i++){
			G[i].clear();
		}
		edges.clear();
	}
	void AddEdge(int from,int to,int cap)
	{
		edges.push_back((Edge1){from,to,cap,0});
		edges.push_back((Edge1){to,from,0,0});
		m = edges.size();
		G[from].push_back(m - 2);
		G[to].push_back(m - 1);
	}
	bool BFS()
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		queue<int> Q;
		Q.push(s);
		d[s] = 0;
		vis[s] = 1;
		while(!Q.empty()) {
			int x = Q.front();
			Q.pop();
			for(int i = 0; i < G[x].size(); i++) {
				Edge1& e = edges[G[x][i]];
				if(!vis[e.to] && e.cap > e.flow) {
					vis[e.to] = 1;
					d[e.to] = d[x] + 1;
					Q.push(e.to);
				}
			}
		}
		return vis[t];
	}
	int DFS(int x,int a)
	{
		if(x == t || a == 0) return a;
		int flow = 0,f;
		for(int& i = cur[x]; i < G[x].size(); i++) {
			Edge1& e = edges[G[x][i]];
			if(d[x] + 1 == d[e.to] && (f = DFS(e.to,min(a,e.cap - e.flow))) > 0) {
				e.flow += f;
				edges[G[x][i] ^ 1].flow -= f;
				flow += f;
				a -= f;
				if(a == 0) break;
			}
		}
		return flow;
	}
	int Maxflow(int s,int t) {
		this -> s = s,this -> t = t;
		int flow = 0;
		while(BFS()) {
			memset(cur,0,sizeof(cur));
			flow += DFS(s,INF);
		}
		return flow;
	}
}din;
int to[500];
bool vis[500];
int main(void)
{
    int n,m,u,v;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    int S = 0,T = n * 2 + 1;
    din.init(T + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i++) din.AddEdge(S,i,1);
    for(int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%d %d",&u,&v);
        din.AddEdge(u,v + n,1);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) din.AddEdge(i + n,T,1);
    int ans = n - din.Maxflow(S,T);
    memset(to,0,sizeof(to));
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    for(int i = 0; i < din.edges.size(); i++) {
        Edge1 e = din.edges[i];
        if(e.from != S && e.to != T && e.flow == 1) {
            to[e.from] = e.to - n;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int j = i;
        if(!vis[j]) {
            while(j) {
                vis[j] = 1;
                printf("%d ",j);
                j = to[j];
            }
            printf("\n");
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
/*
11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11
*/