分治算法之排序和逆序對

今天重新學習了一下分治算法，又溫習了一下快速排序和歸併排序的思路。

歸併排序

【思路】①遞歸到只剩一個元素
②將序列分成長度相等或接近的兩部分。
③遞歸——對劃分後的兩部分序列分別進行歸併排序。
④合併——遞歸地排序之後，兩邊的序列都已經有序，接下來需要將這兩個有序序列合併。
如何合併呢：我們可以建立一個隊列，然後在兩個序列的開頭設立一個指針，兩個指針指向的數值進行比較，把小的放進隊列，然後小的那個指針向後移一位。如果合併完之後其中一個指針還沒到序列的頭，那就把那個序列指針及後面的元素加入隊列，然後在重新賦給原來的序列即可。
接下來要說和歸併排序相關的一個知識，逆序對。

逆序對

【問題描述】對於一個序列 a1， a2， a3，…， an， 如果存在 i＜j， 使 ai＞aj， 那麼 ai， aj就是一個逆序對。現在給你一個有 N 個元素的序列，請求出序列內逆序對的個數。 N≤100000。
【思路】歸併排序是將數列a[l,h]分成兩半a[l,mid]和a[mid+1,h]分別進行歸併排序，然後再將這兩半合併起來。
在合併的過程中（設l<=i<=mid，mid+1<=j<=h），當a[i]<=a[j]時，並不產生逆序數；
當a[i]>a[j]時，在前半部分中比a[i]大的數都比a[j]大，將a[j]放在a[i]前面的話，逆序數要加上mid+1-i。
因此，可以在歸併排序中的合併過程中計算逆序數.
【參考程序】

int cnt=0;//逆序對個數 
int a[10002],c[10002];//c臨時隊列 
void mergesort(int l,int r){
    int mid,j,i,tmp;
    if(r>l+1){
        int mid=(l+r)/2;
        mergesort(l,mid);
        mergesort(mid+1,r);
        tmp=l;
        for(i=l,j=mid;i<mid&&j<r;){
            if(a[i]>a[j]){
                c[tmp++]=a[j];
                cnt+=mid-i;
            }
            else c[tmp++]=a[i];
        } 
        if(j<r)for(;j<r;j++)c[tmp++]=a[j];
        else c[tmp++]=a[i];
        for(i=l;i<r;i++)a[i]=c[i];
    }
}

另外，還可以用樹狀數組來求逆序對，見我的博客

http://blog.csdn.net/qq_37416823/article/details/77622730

快速排序

快速排序的思路如下：如果序列中只有一個數字，則認爲已經排好序了。
在待排序序列中任取一個數（一般取第一個），作爲“標誌”。掃描序列中的其他數，將比“標誌”小的數
放到它的左面，將比“標誌”大的數放到它的右面。 完成後，“標誌”就把序列分成了兩部分，一部分的數都比
它小，另一部分的數都比它大。
接下來，對被劃分出的兩部分分別進行快速排序就可以了。（因爲遞歸結束後，序列已經有序，所以不需要
對結果進行合併了。）