特徵方程法求解遞推關係中的數列通項

一、（一階線性遞推式）設已知數列的項滿足,其中求這個數列的通項公式。

採用數學歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯，本文提出一種易於掌握的解法——特徵方程法：針對問題中的遞推關係式作出一個方程稱之爲特徵方程；藉助這個特徵方程的根快速求解通項公式.下面以定理形式進行闡述.

定理1：設上述遞推關係式的特徵方程的根爲，則當時，爲常數列，即，其中是以爲公比的等比數列，即.

證明：因爲由特徵方程得作換元則

當時，，數列是以爲公比的等比數列，故

當時，，爲0數列，故（證畢）

下面列舉兩例，說明定理1的應用.

例1．已知數列滿足：求。

解：作方程

當時，

數列是以爲公比的等比數列.於是

例2．已知數列滿足遞推關係：其中爲虛數單位。當取何值時，數列是常數數列？

解：作方程則要使爲常數，即則必須

二、（二階線性遞推式）定理2：對於由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特徵方程。

若是特徵方程的兩個根，當時，數列的通項爲，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關於A、B的方程組）；當時，數列的通項爲，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關於A、B的方程組）。

例3：已知數列滿足

，求數列的通項公式。

解法一（待定係數——迭加法）

由，得

，

且。

則數列是以爲首項，爲公比的等比數列，於是

。把代入，得

，

，

，

……

。

把以上各式相加，得

。

解法二（特徵根法）：數列： 的特徵方程是：。

,

又由，於是

故

三、(分式遞推式)定理3：如果數列滿足下列條件：已知的值且對於，都有（其中p、q、r、h均爲常數，且），那麼，可作特徵方程.

（1）當特徵方程有兩個相同的根（稱作特徵根）時，

若則

若，則其中

特別地，當存在使時，無窮數列不存在.

（2）當特徵方程有兩個相異的根、（稱作特徵根）時，則，

其中

例3、已知數列滿足性質：對於且求的通項公式.

解:依定理作特徵方程變形得其根爲故特徵方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，

則有

∴

∴

即

例5．已知數列滿足：對於都有

（1）若求

（2）若求

（3）若求

（4）當取哪些值時，無窮數列不存在？

解：作特徵方程變形得

特徵方程有兩個相同的特徵根依定理2的第（1）部分解答.

(1)∵對於都有

(2)∵

    ∴

           

           

 

令，得.故數列從第5項開始都不存在，

當n ≤4，時，.

(3)∵∴

∴

令則∴對於

∴

(4)、顯然當時，數列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數列是存在的，當時，則有令則得且≥2.

∴當（其中且N≥2）時，數列從第n項開始便不存在.

於是知：當在集合{-3或且≥2}上取值時，無窮數列都不存在.