網絡流24題——方格取數問題

題目鏈接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2774

【問題分析】

二分圖點權最大獨立集，轉化爲最小割模型，從而用最大流解決。

【建模方法】

首先把棋盤黑白染色，使相鄰格子顏色不同，所有黑色格子看做二分圖X集合中頂點，白色格子看做Y集合頂點，建立附加源S匯T。

1、從S向X集合中每個頂點連接一條容量爲格子中數值的有向邊。
2、從Y集合中每個頂點向T連接一條容量爲格子中數值的有向邊。
3、相鄰黑白格子Xi,Yj之間從Xi向Yj連接一條容量爲無窮大的有向邊。
wan
求出網絡最大流，要求的結果就是所有格子中數值之和減去最大流量。

【建模分析】

這是一個二分圖最大點權獨立集問題，就是找出圖中一些點，使得這些點之間沒有邊相連，這些點的權值之和最大。獨立集與覆蓋集是互補的，求最大點權獨立集可以轉化爲求最小點權覆蓋集（最小點權支配集）。最小點權覆蓋集問題可以轉化爲最小割問題解決。結論:最大點權獨立集 = 所有點權 - 最小點權覆蓋集 = 所有點權 - 最小割集 = 所有點權 - 網絡最大流。

對於一個網絡，除去冗餘點（不存在一條ST路徑經過的點），每個頂點都在一個從S到T的路徑上。割的性質就是不存在從S到T的路徑，簡單割可以認爲割邊關聯的非ST節點爲割點，而在二分圖網絡流模型中每個點必關聯到一個割點（否則一定還有增廣路，當前割不成立），所以一個割集對應了一個覆蓋集（支配集）。最小點權覆蓋集就是最小簡單割，求最小簡單割的建模方法就是把XY集合之間的變容量設爲無窮大，此時的最小割就是最小簡單割了。

有關二分圖最大點權獨立集問題，更多討論見《最小割模型在信息學競賽中的應用》作者胡伯濤。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 20005;
const int MAXM = 110000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge1
{
	int from,to,cap,flow;
};
struct Dinic
{
	int n,m,s,t;
	vector<Edge1> edges;
	vector<int> G[MAXN];
	bool vis[MAXN];
	int d[MAXN];
	int cur[MAXN];
	void init(int n)
	{
		this -> n = n;
		for(int i = 0; i <= n + 1; i++){
			G[i].clear();
		}
		edges.clear();
	}
	void AddEdge(int from,int to,int cap)
	{
		edges.push_back((Edge1){from,to,cap,0});
		edges.push_back((Edge1){to,from,0,0});
		m = edges.size();
		G[from].push_back(m - 2);
		G[to].push_back(m - 1);
	}
	bool BFS()
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		queue<int> Q;
		Q.push(s);
		d[s] = 0;
		vis[s] = 1;
		while(!Q.empty()) {
			int x = Q.front();
			Q.pop();
			for(int i = 0; i < G[x].size(); i++) {
				Edge1& e = edges[G[x][i]];
				if(!vis[e.to] && e.cap > e.flow) {
					vis[e.to] = 1;
					d[e.to] = d[x] + 1;
					Q.push(e.to);
				}
			}
		}
		return vis[t];
	}
	int DFS(int x,int a)
	{
		if(x == t || a == 0) return a;
		int flow = 0,f;
		for(int& i = cur[x]; i < G[x].size(); i++) {
			Edge1& e = edges[G[x][i]];
			if(d[x] + 1 == d[e.to] && (f = DFS(e.to,min(a,e.cap - e.flow))) > 0) {
				e.flow += f;
				edges[G[x][i] ^ 1].flow -= f;
				flow += f;
				a -= f;
				if(a == 0) break;
			}
		}
		return flow;
	}
	int Maxflow(int s,int t) {
		this -> s = s,this -> t = t;
		int flow = 0;
		while(BFS()) {
			memset(cur,0,sizeof(cur));
			flow += DFS(s,INF);
		}
		return flow;
	}
}din;
int a[105][105];
int main(void)
{
    int m,n;
    while(scanf("%d %d",&m,&n) != EOF) {
        int S = 0,T = n * m + 1;
        int sum = 0;
        din.init(n * m + 2);
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                scanf("%d",&a[i][j]);
                sum += a[i][j];
            }
        }
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                int id = (i - 1) * n + j;
                if((i + j) % 2) {
                    din.AddEdge(S,id,a[i][j]);
                    if(j > 1) din.AddEdge(id,id - 1,INF);
                    if(j < n) din.AddEdge(id,id + 1,INF);
                    if(i > 1) din.AddEdge(id,id - n,INF);
                    if(i < m) din.AddEdge(id,id + n,INF);
                }
                else din.AddEdge(id,T,a[i][j]);
            }
        }
        printf("%d\n",sum - din.Maxflow(S,T));
    }
    return 0;
}