第四章：貪心算法
1，貪心算法的設計思想是什麼，有什麼特點？如果一個問題用貪心算法可以獲得全局最優解，那麼該問題的求解應滿足哪些條件？
答：貪心算法的設計思想是在對問題求解時，總是做出在當前看來是最好的選擇。
它的特點是1）不是從整體考慮——得到的解可能不是全局最優 2）簡單，直接，易理解，效率高。
如使用貪心算法求解問題獲得全局最優解，則問題應滿足
1）貪心選擇性質（與動態規劃的主要區別）
所求問題的整體最優解可以通過一系列局部最優的選擇（即貪心選擇）來達到
2）最優子結構性質（動態規劃算法和貪心算法的共同點）
一個問題的最優解包含其子問題的最優解時。
用貪心法求解的問題應具備兩個特性：
（1）最優子結構性質
問題的最優解包含着子問題的最優解。
（2）貪心選擇性質
局部最優解的選擇整體最優解
2，貪心法與動態規劃法的比較
答：貪心法：當前狀態下，局部最優選擇，然後求解作出此選擇之後的子問題。貪心選擇依賴於以往作出的選擇，但不受將來所作的選擇，既不依賴於子問題的解。
動態規劃法：每步所作的選擇依賴於相關子問題的解，只有在解出相關子問題以後，才能作出選擇。
3，如何證明一個問題具有貪心選擇性質？
答：思路：證明每步貪心選擇à問題的整體最優解。
證明步驟：
1）假設問題有一個整體最優解。
2）修改這個最優解，使其以貪心選擇開始，並且證明修改後的解仍然爲最優解。
3）運用數學歸納法，證明：
每一步貪心選擇問題的整體最優解。
因爲作出貪心選擇以後，根據最優子結構性質，原問題轉化爲規模更小的子問題。
例題：
1，設n=8，[w1，…w8]=[100, 200, 50, 90, 150, 50, 20, 80]，c=400。
解：所考察貨箱的次序爲 :7, 3, 6, 8, 4, 1, 5, 2。貨箱7, 3, 6, 8, 4, 1的總重量爲390個單位且已被裝載, 剩下的裝載能力爲10 ,小於任意貨箱.所以得到解
[x1,...x8]=[ 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1]
template < class Type >
void Loading(int x[], Type w[], Type c, int n )
{ int *t = new int [n + 1];
Sort(w, t, n) ; //按貨箱重量排序/
for (int i = 1; i < = n; i ++)
x[i] = 0;
for (int i = 1;i<= n && w[t[i]] <= c; i++) {
x[t[i]] = 1;
c-= w[t[i]];}} //調整剩餘空間/
｝
2，
n 例：字符出現頻率與編碼方案
a b c d e f
頻率 45 13 12 16 9 5
定長碼 000 001 010 011 100 101
變長碼1 0 1 00 01 10 11
變長碼2 0 101 100 111 1101 1100
3，單源最短路徑
4，最小生成樹
|
Kruskal |
Prim |
|
template < class Type > bool Kruskal(int n, int e, EdgeNode < Type > E[ ], EdgeNode < Type > t[ ] ){ MinHeap < EdgeNode < Type > > H(1); H. Initialize(E, e, e); UnionFind U(n); int k = 0; while (e && k < n- 1) { EdgeNode <int > x; H. DeleteMin(x); e--; int a = U.Find(x.u); int b = U.Eind(x.v); if (a! = b) { t[k ++] = x; U. Union(a, b); } } H. Deactivate( ) renturn (k = = n-1); } |
Template<class Type> Void Prim(int n,Type **c) { Type lowcost[maxint]; int closest[maxint]; bool s[maxint]; s[1]=true; for(int I=2;I<=n;I++) { lowcost[I]=c[1][I]; closest[I]=1; s[I]=false; } for(int I=1;I<=n;k++) { Type min=inf; int j=1; for(int k=2;k<=n;k++) if((lowcost[k]<min)&&(!s[k])) { min=lowcost[k]; j=k; } cout<<j<<closet[j]<<endl; s[j]=true; for(int k=2;k<=n;k++) if((c[j][k]<lowcost[k]&&(!s[k])) { lowcost[k]=c[j][k]; closet[k]=j; } } } |
5，7個獨立的作業{a, b, c, d, e, f, g}，加工時間分別爲{2，14，4，16，6，5，3}，3臺機器：M1, M2, M3貪心調度結果：加工時間爲17，達到最優。
