利用單位圓方法證明 sin（α+β）= … 與cos（α+β）= …，是進一步證明大部分三角函數公式的基礎。
1、sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ
在笛卡爾座標系中以原點O爲圓心作單位圓，在單位圓中作以下線段：
如圖中所示，容易看出：
sin（α+β）=CF；sinα=AB；cosα=OB； sinβ=CD；cosβ=OD
則：
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平面幾何的證明方法：如圖所示，過程見下面的【評論】中新浪網友的提示
（非常感謝這位網友的提示，讓我們看到了證明一個定理的多種途徑，真是妙不可言！）
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附：如何證明托勒密定理？
見 http://hyz0.blog.sohu.com/69610635.html
http://iask.sina.com.cn/b/2459822.html
托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。
原文：圓內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等於 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。
從這個定理可以推出正弦、餘弦的和差公式及一系列的三角恆等式，托勒密定理實質上是關於共圓性的基本性質．（具體的推導方法詳見數學目錄下的博文，來自網友的提供！）
思路：托勒密定理在平面幾何中赫赫有名，其難點在於：把一條對角線分割成兩條線段DE和BE。第一步證明一對旋轉的三角形相似：△ABE∽△ACD；第二步還需要證一對旋轉的三角形相似△ADE∽△ACB；只有這兩對相似的三角形出來了才能得到結論。
證明：以AB爲邊，作一個角等於已知角：即∠BAE=∠DAC；
在ΔABE和ΔACD中，
∵∠BAE=∠DAC；
∠ABE=∠ACD；
∴△ABE∽△ACD；
∴AB·DC=BE·AC①
∵∠BAE=∠DAC；
∴∠DAE=∠CAB；
在ΔADE和ΔACB中，
∵∠ADE=∠ACB；
∠DAE=∠CAB；
∴△ADE∽△ACB；
∴AD·BC=DE·AC②
∴①+②得：
AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=（BE+DE）·AC=BD·AC。
結論：該命題對於圓內接的任意四邊形都成立。最初是由數學家托勒密想出來的，叫做托勒密定理。“當你遇到AB·DC+AD·BC=AC·BD這樣的等積式時，如果等式左邊可以合二爲一，則考慮證一對三角形相似，否則，在AC、BD的其中一條線段上找到一個分點，構造兩個三角形相似。”