最近沒什麼好玩的東西可以寫，就寫寫基本的數學原理吧。
數學中有兩個最爲常用的超越數，一個是圓周率π,一個就是e。
π只要上過學的都知道，是圓的周長和直徑的比值。因爲自然界充滿了圓形圖案，所以π的發現是自然的。
而e的發現就不那麼簡單，因爲這個極具魔力的數字隱藏地非常巧妙，每次想想這個證明，都會覺得匪夷所思。也只有歐拉一樣的天才纔能有如此慧眼，不得不讓人感嘆天才真是不合邏輯的存在。
我們來看看這個證明吧。
e的定義是數列極限Limit[(1+1/x)^x,x->Infinity]的值。
1+1/x是減函數，而指數是增函數，因此合成函數可能是增，也可能是減，而無數種組合中，只有在這個表達式附近，極限纔是收斂的。
我們現在看看f(x)=(1+1/x)^x這個表達式。
我們把他看成是[(1+1/x)^x]*1,根據數學中非常著名的均值不等式，幾何平均值小於算術平均值
即a1a2a3...an <=[(a1+a2+...an)/n]^n，
我們可以得到[(1+1/x)^x]*1 <= [((1+1/x)*x+1)/(x+1)]^(x+1) == (1+1/(x+1))^(x+1)
即f(x)<=f(x+1)，因爲均值不等式只有在所有項都相等的時候等號才成立，而1+1/x是要大於1的，因此
f(x)<f(x+1)。也就是說，f(x)這個表達式是單調增加的。
我們再來看另外一個表達式g(x)=(1+1/x)^(x+1)
1/g(x)=(x/(x+1))^(x+1)，同樣把它表示成
[(x/(x+1))^(x+1)]*1，同樣根據平均值不等式可以得到1/g(x)<=[(x+1)/(x+2)]^(x+2)==1/g(x+1)
因此得到g(x)是單調遞減的。
而g(x)=f(x)*(1+1/x)，因此可以得到g(x)大於f(x)。
根據單調性，我們可以知道f(x) 取最小值1就是這兩個數列的下界，而g(x)取x=1就是這兩個數列的上界。
因此2<=f(x)<g(x)<=4
因爲(1+1/x)是趨近於1的，因此g(x)和f(x)在無窮大處的極限應該是相等的。
這兩個函數都是單調且有界的，而且極限都相等，因此得到這兩個數列收斂於同一個值,這個值就被定義爲e。
我們回過頭來看這個證明非常簡單，但是整個過程充滿了不可思議的巧合。
但是僅僅有這些巧合，僅僅能稱得上神奇，並無多大作用。
但是e不同，這個數字揭示了指數函數的奧祕。exp(x)是唯一一個導函數等於自身的函數，並且所有指數函數的微分都可以表示成指數底自然對數和自身函數相乘的形式。
這個性質擁有無數的推廣。比如指數分佈的無記憶性和這個性質有關，高斯分佈也含有這個數字。
排列組合斯特林公式的極限包含這個數字。
把exp(x)用taylor級數展開，帶提成sin的組合cos可以得到e^(πi)+1=0,就是最爲傳奇的歐拉公式。
因此，在複平面裏面就可以把一個複數表示成e爲底的冪指數形式。
不僅如此，這個數字還揭示了乘法和加法之間的某種聯繫，關於質數性質的深層本質。
這會是巧合麼？