我們拿除法hash做說明，按照hash的原理很容易知道其他類別的hash都是和除法hash同構的。
假設hash函數爲h(k)=k mod m，即m個slot。
m的取值有幾個需要注意的地方：
1.m不能取一個2^p的數。算法導論是這樣解釋的：
這是因爲對一個數除以2^p取餘數相當於只取這個數的最低的p位，高於p位的信息就被丟棄了。
這個原理很容易理解：
假設把15映射到8個槽位的hash表裏，即k=15 m=8。k的二進制表示1111，8的二進制表示1000.取餘數爲7，二進制表示是111，即k的最低3位。這樣相當於不管k的除去最後3位取什麼值，結果都是不變的。
2.m不能取一個接近2^p或10^p的數。
算法導論裏面舉了一個例子：假設m=2^p-1，如果k是一個用p個bit編碼的字符，那麼這些字符無論怎麼組合，hash後得到的結果都是一樣的。
這個理解起來稍微有點困難：
先舉個例子:
假設我們的p取4，也就是m=2^4-1=15。
我們的想要把4個bit編碼的字符所組成的字符串放到hash表中。
這樣每個字符串都可以用一個16進制的數來表示。
打開python,隨便找一組數計算一下：
0x1234%15=10
0x4231%15=10
0x3214%15=10
....
不管怎樣組合，hash得到的結果都是一樣的。
這是爲什麼？
證明一下：
每個字符串的都是p個bit編碼的，我們假設2^p=a因此n個字符的字符串的多項式表示就是
X0+aX1+(a^2)X2+(a^3)X3+(a^(n-1))Xn
對於同樣的字符所組成的字符串，假設2^(ap)這個係數不變，相當於把許多個Xi和Xj做交換。
因爲置換可以表示成有限個對換的乘積。因此，任意兩個字符串可以通過有限次兩兩對換得到。
身爲一個搞計算機的對這個原理並不陌生。我們通常用的各種基於比較的排序算法都是這個原理的具體體現。也就是說任何序列都可以通過兩個元素交換的方法變成標準序列。同時我們也知道，交換的次數的上界是nlogn
對於任意一次對換，假設我們要對換的(a^i)Xi和(a^j)Xj，對換之前表達式是S0=(a^i)Xi+(a^j)Xj+Sn
Sn表示表達式的剩餘部分。
對換之後的表達式S1=(a^j)Xi+(a^i)Xj+Sn。
對換所產生的差值是S1-S0=(a^j)Xi+(a^i)Xj-(a^i)Xi-(a^j)Xj=(a^j-a^j)(Xi-Xj)
我們觀察a^j-a^i這個表達式，可以發現a=1是a^j-a^i=0的恆等解。不管i和j取多少，等式都成立。這意味着a-1是a^j-a^i因式分解後的一個因子。
因此說明，對每一次對換，變化量是a-1的整數倍。也就是a^p-1的整數倍。因此對於任意有限次對換相乘形成的變換，變化量始終是a^p-1的整數倍。
這就證明了不管這個字符串採用什麼樣的組合，他對a^p-1取餘數的結果都是不變的。
雖然2^p-1的例子證明了，但是我還沒有想到其他接近2^p的數所導致的不良後果，但是寧可信其有吧。
3.m的值爲什麼要取一個素數？
這個算法導論中沒有給出解釋，實際上如果學過羣論的話，這個問題是非常好理解的。
因爲對於一個階爲n的羣，他的子羣的階一定是n的因子。（lagrange定理）
所以如果n是一個素數，那麼這個羣就沒有真子羣。
怎麼理解這個原理：
我們做hash table的所需要避免的現象是什麼？
就是我們實際上要放的元素並沒有在hash table中均勻分佈，只是佔用了一部分，大量的空間被浪費了。因爲hash空間是有限的，想要刻意找到無限多個碰撞也是能夠辦到的。我們假設用戶並不是刻意去搗亂，而是碰巧就產生了這個現象。
這種巧合是怎麼形成的？
因爲想往hash表中放的元素本身也是有規律性，這個規律與hash表本身的設計相疊加，產生了這樣的後果。
如果我們m不是一個素數的話，m的每一個因子都可以構造一種循環導致問題產生。
還是舉個例子：
假設m=6時候，我們的槽位相當於<0,1,2,3,4,5>
因爲6=2*3
那麼<0,2,4>，<0,3>都代表了產生問題的情況。
假設用戶的放的k的值滿足每個等差加2，或者每個等差加3，都會導致只佔用hash table中的一部分，而不是全部。
爲了避免這種情況出現，m需要取一個素數。