public static int math(int a, int b) {
...
}
分析： 關於這道題的算法有多種，我們今天只研究下面這種算法：
1 public static int math(int a, int b) {
2 int hold = 0;
3 while (b != 0) {
4 hold = a % b;
5 a = b;
6 b = hold;
7 }
8 return a;
9 }
初看這個解法，你可能會一頭霧水。再看看，更是不知所云。甚至懷疑這樣算是不是可 以得到正確結果，但經過測試你會發現的確可以得到正確結果，這究竟是爲什麼呢？讓我們 來分析一下這個算法，爲了便於敘述，把行號加上：
第 1 行，程序調用這個方法時會傳入兩個正整數 a 和 b
第 2 行，聲明一個 int 類型的變量 hold 並賦初值 0；第 3-7 行是一個 while 循環，循環條件是 b!=0；
第 4 行，用 hold 來保存 a%b 的結果
第 5 行，把 b 的值賦給 a
第 6 行，把 hold 的值賦給 b
若 b 不爲 0，則進行下一次循環，直到 b=0 時停止循環
最後第 8 行把 a 的值返回。
首先我們假設程序只進行一次循環，也就是說：方法傳入 a 和 b 時
第 4 行，hold=a%b=0；
第 5 行，a=b；
第 6 行，b=hold=0；再進行第 3 行判斷循環停止
第 8 行，返回 a 的值，也就是第 5 行中方法開始時傳入的 b 的值，這說明： 如果 a%b=0 那麼 a 和 b 的最大公約數就爲 b，
這點好理解，a%b=0 也就是說 a 能被 b 整除，那當然 a 和 b 的最大公約數就是 b 了。 關鍵是如果不是進行一次，而是進行多次循環呢？
爲了便與理解，我把上面的程序改爲遞歸算法：
1 public static int math1(int a, int b) {
2 if (b == 0) {
3 return a;
4 }
5 int hold = a % b;
6 a = b;
7 b = hold;
8 return math1(a, b);
9 }
第 1 行，程序調用這個方法時傳入兩個正整數 a 和 b
第 2－4 行，如果 b 等於 0 返回 a 的值
第 5 行，聲明一個 int 類型的變量 hold 保存 a%b 的結果
第 6 行，把 b 的值賦給 a
第 7 行，把 hold 的值賦給 b
第 8 行，遞歸調用，直到 b 的值爲 0 時返回 a 的值
最後第 8 行把 a 的值返回。
在首次調用這個方法傳入 a 和 b 的值時第 3 行肯定不會執行，而是執行 5－8 行的代碼， 由第 8行，我們可以看出程序的意思是 a和 b的最大公約數與 b和 a%b 的最大公約數相同。
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假設程序進行三次遞歸： |
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第一次程序傳入 a 和 b， |
35 |
30 |
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第二次相當於傳入 b 和 a%b， |
30 |
5 |
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第三次相當於傳入 a%b 和 0；（上次中 b%(a%b)=0） |
5 |
0 |
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最後程序返回 a%b。 |
5 |
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由此我們可以得到如下兩個命題：
命題一：a 和 b 的最大公約數與 b 和 a%b 的最大公約數相同；
命題二：如果 b%(a%b)=0，那麼 a 和 b 的最大公約數爲 a%b，（其中 a，b 都爲正整數，且 a%b!=0）。
如果能證明這兩個命題，則上面的算法也就不難理解了：因爲程序實際上一直在運用命題一反覆進行遞歸調用，只是在最後兩次時運用命題二，得出最後結果。
我們先看命題一：a 和 b 的最大公約數與 b 和 a%b 的最大公約數相同。 證明：由於 a%b!=0 則 a!=b，當 a<b 時 a%b=a，命題自然成立；
當 a>b 時可設 a 和 b 的最大公約數爲 x；
a=mx，b=nx，其中 m 和 n 爲正整數且 m 與 n 互質（除 1 之外再無其它公因數） 則可設：a%b=(m-kn)x，其中 k 爲正整數
這說明：b 和 a%b 有公因數 x，下面證明 n 與 m-kn 互質 假設 n 與 m-kn 有公因數 y，y 爲正整數且 y 不等於 1 則可設：n=py，m-kn=qy，其中 p 和 q 爲正整數 那麼：m-kn=m-kpy=qy
可得：m=kpy+qy=(kp+q)y
這說明 m 和 n 有公因數 y，與 m 和 n 互質相矛盾，故 n 與 m-kn 互質 由此得 b 和 a%b 的最大公約數也爲x，命題一得證。
再看命題二：如果 b%(a%b)=0，那麼 a 和 b 的最大公約數爲 a%b
爲了便於證明我們修改一下這個命題：
已知：m 爲正整數，a=mb+x（即 a%b=x），b 能被 x 整除（即 b%x=b%(a%b)=0），
求證：a 和 b 的最大公約數爲 x（即 a%b） 證明：因爲 b 能被 x 整除，故可設
b=nx，（其中 n 爲正整數）
則：
a=mb+x
=mnx+x
=(mn+1)x
所以：
a 也能被 x 整除 那麼：
a 和 b 的最大公約數一定是 x 的倍數，假設爲 kx，其中 k 爲正整數 則可設：
a=pkx，b=qkx，其中 p 和 q 都爲正整數
那麼：
a=mb+x
=mqkx+x
=(mqk+1)x=pkx
故：
mqk+1=pk
解出 k 得：
k=1/(p-mq)
由於：其中 m、p、q、k 都爲正整數故：k 的值只能爲 1
所以：a 和 b 的最大公約數爲 x，命題二得證。
至此問題得以解決。