Codeforces 1058C(思维+最大公因数)

题面

传送门

分析

引理1:三角形的面积$\times 2$一定是整数
由座标系中的三角形面积公式
$S=\frac{1}{2}(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_1y_3-x_2y_1-x_3y_2)$
显然得证
故若$\frac{2nm}{k}$是整数,则有解,否则无解

引理2:一定能构造出一个直角边平行于座标轴的直角三角形,使它的面积为$\frac{nm}{k}$
设直角三角形两直角边为$a,b$
则$ab=\frac{2nm}{k} \leq nm$
由引理1$\frac{2nm}{k}$为正整数,所以一定可以找到一对正整数$(a,b)$满足条件

那么,如何构造$a\leq n,b\leq m$的情况呢
显然$2n$或$2m$与$k$不互质
(1)若$gcd(2n,k) \neq 1$,则$a=\frac{2n}{gcd(2n,k)},b=\frac{2nm}{ak}$
由于$2 \leq gcd(2n,k) \leq k$
则$a \leq n$
$b=\frac{2nm}{ak} =\frac{2nm}{\frac{2kn}{gcd(2n,k)}}$=$\frac{m \times gcd(2n,k)}{k} \leq \frac{mk}{k}=m$
(2)若$gcd(2n,k) = 1$,则$a=n,b=\frac{2m}{k}$
由于$k \geq 2$,$b \leq m$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
inline long long gcd(long long a,long long b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
long long n,m,k;
int main(){
	cin>>n>>m>>k;
	if((n*m*2)%k!=0){
		printf("NO\n");
	}else{
		printf("YES\n");
		long long S=(n*m*2)/k;
		long long a,b;
		if(gcd(n*2,k)!=1){
			a=n*2/gcd(n*2,k);
			b=S/a;
		}else{
			a=n;
			b=m*2/k;
		} 
		printf("0 0\n");
		printf("%I64d 0\n",a);
		printf("%I64d %I64d\n",a,b);
	}
}