Codeforces Round #511 Div. 2

C題水題沒做出來，反而猜對了D題，還好排名變化不大。

A. Little C Loves 3 I

題意

給出一個數$n$，要求取三個不爲$3$倍數的數$a, b, c$，滿足$a+b+c=n$。

思路

若$n$模$3$得$0$或$1$，則取$a=1, b=1, c=n-2$；否則取$a=1, b=2, c=n-3$。

B. Cover Points

題意

給出一些位於第一象限的點，取三個頂點分別爲$(0, 0)$、$(0, a)$和$(a, 0)$的等腰三角形，求a的最小值使得三角形包含所有點。

思路

等腰三角形的底位於直線$x+y=a$上，若三角形包含所有點，則每一個點$(x_i, y_i)$滿足$x_i+y_i\le a$，故$a = max\{ x_i+y_i \}$。

C. Enlarge GCD

題意

有$n$個數，移除一些數可以使得所有數的最大公約數變大，問最少需要移除多少個數。

思路

設$f(x)$表示$n$個數中以$x$爲公約數的數量，那麼只需要找到$x'$使得$x'>x$並且$f(x')<n$，最少需要移除$n-f(x')$個數。借鑑線性篩質數的思想，先求出最大公約數，再遞增篩選。若$x'$未被篩去，則篩去$x'$的所有倍數，並計算對應的數量之和$f(x')$，否則跳過，最後取$f(x')$的最大值。

D. Little C Loves 3 II

題意

有一個$n \times m$的棋盤，每次放置兩枚曼哈頓距離爲$3$的棋子，問最多可以放置多少枚棋子。

思路

分別取$n$和$m$的較小值$a$和較大值$b$，若$a=1$，則棋盤大小爲$1 \times b$，每連續$6$格剛好可以放置$3$對棋子，當剩下的格子等於$4$時可以再放置$1$對，等於$5$時可以再放置$2$對；若$a=2$，則棋盤大小爲$2 \times b$，每連續$4$、$5$或$6$格剛好可以放滿棋子，故除了$1$、$2$、$3$、$7$格以外均可以通過組合放滿棋子，$1$、$2$格不能放棋子，$3$格只能放$1$對棋子，$7$格只能放$6$對棋子；若$a \ge 3$，則可以儘可能多地放置棋子，當格子總數爲偶數時可以放滿，爲奇數時空$1$格，具體證明如下，$3 \times 3$、$3 \times 4$、$3 \times 5$、$3 \times 6$和$4 \times 4$、$4 \times 5$以及$2 \times 4$、$2 \times 5$、$2 \times 6$的棋盤可以儘可能放置棋子，其餘棋盤可以通過組合得到。